Систему, математической моделью которой является система обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), называют динамической системой. Анализ процессов в динамических системах можно производить во временной и частотной областях. Анализ во временной области (динамический анализ) позволяет получить картину переходных процессов, оценить динамические свойства объекта, он является важной процедурой при исследовании как линейных, так и нелинейных систем. Анализ в частотной области более специфичен, его применяют при исследовании колебательных стационарных процессов, анализе устойчивости, расчете искажений информации, представляемой спектральными составляющими сигналов, и т.п.к объектам с линеаризуемыми ММС
Решение СОДУ можно представить, как движение некоторой точки в пространстве с размерностью, равной числу зависимых переменных системы уравнений. Траекторию движения этой точки называют фазовой траекторией системы. С точки зрения устойчивости, можно выделить несколько типов фазовых траекторий, приводящих решения системы в некоторое подмножество. Такое подмножество называется аттрактором. Аттрактор имеет область притяжения, т.е. такое множество начальных точек, из которых фазовые траектории стремятся к аттрактору.
Если поведение системы полностью определяется начальными условиями и внешними воздействиями, то она называется устойчивой динамической системой. Движение точки в таких системах имеет апериодический, периодический или квазипериодический характер, соответственно типами аттракторов при этом являются устойчивые предельные точки или устойчивые циклы (траектория стремится к некоторой замкнутой кривой).
Однако наряду с устойчивыми динамическими системами существуют хаотические динамические системы. Фазовые траектории в них имеют сложную и запутанную структуру и представляют собой незамкнутые кривые, а область притяжения фазовых траекторий называется странным аттрактором. Странные аттракторы могут появиться в диссипативных системах, при этом в фазовом пространстве движение точки становится неустойчивым, любые две траектории всегда расходятся, малое изменение начальных данных приводит к различным путям развития.
Для динамических систем имеет место зависимость поведения от некоторого параметра (параметров). Существуют системы, в которых при некотором критическом значении параметра, называемом бифуркационным, аттрактор меняет свою структуру, изменяются свойства устойчивости. Такое явление называют бифуркацией. Бифуркации могут сопровождаться рождением периодических колебаний, изменением частоты колебаний, потерей устойчивости и переходом к одному из двух трудно предсказуемых продолжений — хаотическому или упорядоченному. Выявление хаотических режимов и бифуркаций – одна из задач динамического анализа.
Большинство систем, которые приходится исследовать в САПР, относится к устойчивым динамическим системам.
Математическая модель динамической системы — система алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений
F(dV/dt, V, t) = 0. (1)
Методы анализа динамических систем во временной области — это численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ):
Все методы интегрирования СОДУ подразделяются на группы явных и неявных методов.
Явные методы основаны на экстраполяционных формулах конечно-разностной аппроксимации производных, называемых также формулами дифференцирования вперед. Примером явного метода первого порядка является метод Эйлера, в котором на n-м шаге интегрирования используется экстраполяционная формула
dV/dt | n= (Vn+1 — Vn )/hn, (2)
где hn — величина n-го шага интегрирования (индекс указывает номер шага интегрирования). В неявных методах используются интерполяционные формулы (формулы дифференцирования назад), так для неявного метода Эйлера
dV/dt | n+1= (Vn+1 — Vn)/hn+1, (3)
Адгебраизация системы (1) с помощью формул типа (2) или (3 ) преобразует (1) в систему алгебраических уравнений с неизвестным вектором X=Vn+1
Ψ(X) = 0,. (4)
которую нужно решать на каждом шаге интегрирования. Если (4) – система нелинейных алгебраических уравнений, то для ее решения применяют итерационные методы. Обычно это метод Ньютона, линеаризующий систему (4). Полученная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
ЯkXk = Bk (5)
решается на каждой итерации. В (5) Яk = Ψ/X|kматрица Якоби, Bk — вектор правых частей, индекс указывает на номер ньютоновской итерации.
Важнейшими свойствами методов интегрирования СОДУ являются точность, устойчивость, вычислительная эффективность. Точность вычислений при решении СОДУ зависит от порядка метода, величины шага интегрирования и размера разрядной сетки используемой ЭВМ. Порядок метода определяется зависимостью погрешности вычислений δ, допущенной на одном шаге, от величины шага. Погрешность уменьшается с увеличением порядка метода. Однако рост порядка метода, основанного на конечно-разностной аппроксимации производных, ограничен из-за появления неустойчивости. Вычислительная эффективность определяется трудоемкостью требующихся вычислений, которая равна произведению затрат времени на однократное решение СЛАУ (3.17) и суммарного числа ньютоновских итераций на всех шагах интегрирования.
Метод называют А-устойчивым, если погрешность δ остается ограниченной при любой величине шага h. К А-устойчивым методам относятся неявные методы первого и второго порядка – методы Эйлера и трапеций. Устойчивость остальных методов зависит от обусловленности ММС. определяемой спектром матрицы Якоби в формуле (5). Так, для явного метода Эйлера условием устойчивости является следующее неравенство
|1 + hλj| < 1,
где λj — j-е собственное значение матрицы Якоби. Если собственные значения – вещественные числа, то можно определить постоянные времени τj моделируемого объекта через собственные значения матрицы Якоби
τj = — 1/λj,
и представить условие устойчивости явного метода Эйлера в виде
0 < h < 2τmin,
где τmin — минимальная постоянная времени. Отрезок модельного времени, на котором должно выполняться моделирование, определяется максимальной постоянной времени τmax, Следовательно число шагов интегрирования при одновариантном анализе имеет порядок отношения максимальной и минимальной постоянных времени τmax/ τmin. Это отношение иногда называют числом обусловленности математической модели. Поскольку в реальных ММС разброс постоянных времени может достигать значений 1010 и выше, трудоемкость анализа с помощью явного метода Эйлера в плохообусловленных моделях оказывается чрезмерной. Немногим лучше обстоит дело при применении других явных методов.
Поэтому основу математического обеспечения современных программ анализа на макроуровне составляют А-устойчивые методы интегрирования СОДУ, к которым, как отмечено выше относятся неявные методы первого и второго порядков. При применении неявных методов более высоких порядков возможна потеря устойчивости в случаях ММС с значительными мнимыми частями собственных значений матрицы Якоби. Методы высоких порядков можно применять, если предусмотреть переход на А-устойчивые методы при появлении тенденции к неустойчивости, что реализовано в методах Гира.
Неплохо зарекомендовал себя А-устойчивый комбинированный метод второго порядка, заключающийся в поочередном использовании двух формул Эйлера – неявной и явной. Второй порядок точности обеспечивается по той причине, что погрешности, полученные на явном и неявном шагах, хотя и включают члены с h2, но из-за разных знаков эти члены взаимно компенсируются, что и определяет второй порядок точности.
Список литературы
1. Норенков И.П. Автоматизированные информационные системы. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.