Метод гармонического баланса — метод анализа периодических процессов в системах с нелинейными элементами., в частности, в нелинейных радиотехнических схемах. Основан на использовании преобразований Фурье применительно к линейной аппроксимации нелинейной модели в процессе решения систем нелинейных уравнений.
Пусть математическая модель схемы представлена в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка m
f(,V,u(t))=0. (1)
где U(t) — входной периодический сигнал c частотой ω, V= (v1, v2,.. vm), m — число узлов схемы. Решение V(t) может быть представлено в виде ряда Фурье:
vi = p0i/2 +(gkicoskωt + hkisinkωt), (2)
где p0i, gki, hki — неизвестные коэффициенты Фурье в i-м узле схемы, K — число учитываемых гармоник.
Введем вектор неизвестных xi = (p0i, g1i, g2i,.. h1i, h2i,..). Подстановка (2) в (1) дает систему алгебраических уравнений
F(X) =0.
Применение метода Ньютона к решению этой системы приводит к системе линейных алгебраических уравнений на n-й итерации:
|nХn+1 = — F(Xn) .
или AnXn+1= Bn, (3),
В системе (3) m уравнений, (2К+1)*m неизвестных. .
В соответствии с принципом баланса гармоник система (3) распадается на 2K+1 систем ЛАУ порядка m, каждая система соответствует косинусной или синусной составляющей одной из гармоник с номером k. Расчет An и решение (3) есть прямое преобразование Фурье, что дает вектор Xn+1 на (n+1)-й итерации. Далее в соответствии с (2) определяется вектор V, что соответствует обратному преобразованию Фурье. Вектор V в виде ряда (2) подставляется в выражения элементов матрицы Аn+1= , зависящих от V, решается система (3) на новой итерации и т.д.
Представленный итерационный процесс соответствует методу Ньютона и продолжается до выполнения условий сходимости. Для прямого и обратного преобразования Фурье обычно испольхуют метод БПФ (быстрое преобразование Фурье). Часто вместо метода Ньютона используют итерационные процессы с упрощенной матрицей Якоби A, например, метод Якоби с использованием лишь диагонали якобиана.