Характеристика методов формирования ММС
Исходную систему компонентных уравнений и топологических уравнений можно рассматривать как окончательную ММС, которая и подлежит численному решению. Численное решение этой системы уравнений предполагает алгебраизацию дифференциальных уравнений, например, с помощью преобразования Лапласа или формул численного интегрирования. В программах анализа нелинейных объектов на макроуровне, как правило, применяются формулы численного интегрирования, примером которых может служить неявная формула Эйлера:

где — значение переменной на -м шаге интегрирования; — шаг интегрирования. Алгебраизация подразумевает предварительную дискретизацию независимой переменной (вместо непрерывной переменной получаем конечное множество значений ), она заключается в представлении ММС в виде системы уравнений:

 (1)


c неизвестными и , где использовано обозначение . Эту систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных, необходимо решать на каждом шаге численного интегрирования исходных дифференциальных уравнений.
Однако порядок этой системы довольно высок и примерно равен , где — число ветвей эквивалентной схемы (каждая ветвь дает две неизвестные величины — фазовые переменные типа потока и типа потенциала, за исключением ветвей внешних источников, у каждой из которых неизвестна лишь одна фазовая переменная), — число элементов в векторе производных. Чтобы снизить порядок системы уравнений и тем самым повысить вычислительную эффективность ММС, желательно выполнить предварительное преобразование модели (в символическом виде) перед ее многошаговым численным решением. Предварительное преобразование сводится к исключению из системы части неизвестных и соответствующего числа уравнений. Оставшиеся неизвестные называют базисными. В зависимости от набора базисных неизвестных различают несколько методов формирования ММС.
Согласно методу переменных состояния (более полное название метода — метод переменных, характеризующих состояние), вектор базисных переменных состоит из переменных состояния. Этот вектор включает неизбыточное множество переменных, характеризующих накопленную в системе энергию. Например, такими переменными могут быть скорости тел (кинетическая энергия определяется скоростью, так как равна ), емкостные напряжения, индуктивные токи и т.п. Очевидно, что число уравнений не превышает . Кроме того, итоговая форма ММС оказывается приближенной к явной форме представления системы дифференциальных уравнений, т.е. к форме, в которой вектор явно выражен через вектор , что упрощает дальнейшее применение явных методов численного интегрирования. Метод реализуется путем особого выбора системы хорд и ветвей дерева при формировании топологических уравнений. Поскольку явные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений не нашли широкого применения в программах анализа, то метод переменных состояния также теряет актуальность и его применение оказывается довольно редким.
В классическом варианте узлового метода в качестве базисных переменных используются узловые потенциалы (т.е. скорости тел относительно инерциальной системы отсчета, абсолютные температуры, перепады давления между моделируемой и внешней средой, электрические потенциалы относительно базового узла). Число узловых потенциалов и соответственно уравнений в ММС оказывается равным , где — число узлов в эквивалентной схеме. Обычно заметно меньше и, следовательно, порядок системы уравнений в ММС снижен более чем в два раза по сравнению с порядком исходной системы.
Однако классический вариант узлового метода имеет ограничения на применение и потому в современных программах анализа наибольшее распространение получил модифицированный узловой метод.
Узловой метод
Матрицу контуров и сечений в узловом методе формируют следующим образом. Выбирают базовый узел эквивалентной схемы и каждый из остальных узлов соединяют с базовым фиктивной ветвью. Именно фиктивные ветви принимают в качестве ветвей дерева, а все реальные ветви оказываются в числе хорд. Поскольку токи фиктивных ветвей равны нулю, а вектор напряжений фиктивных ветвей есть вектор узловых потенциалов , то топологические уравнения принимают вид:
 (2)

 (3)

где и — векторы напряжений и токов реальных ветвей.
Компонентные уравнения алгебраизуются с помощью одной из формул численного интегрирования, линеаризуются с помощью разложения в ряд Тейлора с сохранением только линейных членов, и их представляют в виде:
 (4)

где — диагональная матрица проводимостей ветвей, рассчитанная в точке ; — вектор, зависящий от значений фазовых переменных на предшествующих шагах интегрирования и потому уже известный к моменту времени . Каждая ветвь (за исключением идеальных источников напряжения) имеет проводимость, которая занимает одну из диагональных клеток матрицы проводимостей.
Окончательно ММС получаем, подставляя (4) и затем (2) в (3):

или
 (5)

где — матрица Якоби, — вектор правых частей. Отметим, что матрица имеет размер, матрица , а матрица Якоби — .
Система (5) является системой линейных алгебраических уравнений, полученной в результате дискретизации независимой переменной, алгебраизации дифференциальных уравнений и линеаризации алгебраических уравнений. Алгебраизация приводит к необходимости пошагового вычислительного процесса интегрирования, линеаризация — к выполнению итерационного вычислительного процесса на каждом шаге интегрирования.
Рассмотрим, каким образом определяются проводимости ветвей.
Для резистивных ветвей проводимость — величина, обратная сопротивлению .
При использовании неявного метода Эйлера проводимость емкостной ветви получается из ее компонентного уравнения следующим образом.
На -м шаге интегрирования

проводимость по определению равна и при получаем

При этом в вектор правых частей входит элемент .
Проводимость индуктивной ветви можно найти аналогично:

и при

Аналогично определяют проводимости и при использовании других разностных формул численного интегрирования, общий вид которых

где зависит от шага интегрирования, — от значений вектора на предыдущих шагах.
Классический вариант узлового метода имеет ограничения на применение. Так, недопустимы идеальные (с бесконечной проводимостью) источники напряжения, зависимые источники, аргументами которых являются токи, а также индуктивности, поскольку в классическом варианте токи не входят в число базисных переменных. Устранить эти ограничения довольно просто — нужно расширить совокупность базисных координат, включив в нее токи-аргументы зависимых источников, а также токи ветвей индуктивных и источников напряжения. Полученный вариант метода называют модифицированным узловым методом.
Согласно модифицированному узловому методу, в дерево при построении матрицы контуров и сечений включают ветви источников напряжения и затем фиктивные ветви. В результате матрица принимает вид (табл. 1), где введены обозначения: — источники напряжения, зависящие от тока; — независимые источники напряжения; — источники тока, зависящие от тока; — индуктивные ветви; — подматрица контуров хорд группы и сечений фиктивных ветвей группы .
Те же обозначения будем использовать и для соответствующих векторов напряжений и токов. Назовем ветви, токи которых являются аргументами в выражениях для зависимых источников, т.е. входят в вектор , особыми ветвями. Остальные ветви (за исключением индуктивных) — неособые. Введем также обозначения: — вектор индуктивных токов; и — векторы токов и напряжений неособых ветвей; — диагональные матрицы проводимостей ветвей неособых, индуктивных, особых.
Таблица 1    
Тип ветвиФиктивные
Неособые
L

Уравнение закона токов Кирхгофа (3) для фиктивных ветвей имеет вид

Исключим вектор с помощью компонентного уравнения (4), а вектор с помощью очевидного выражения:

где — матрица передаточных коэффициентов источников тока. Используем также выражение (2), принимающее вид

Получаем систему из трех матричных уравнений с неизвестными векторами , и :
 (6)

 (7)

 (8)

где обозначено . Эта система и является итоговой ММ в узловом модифицированном методе.
Примечание 1
Вектор индуктивных токов нельзя исключить из итоговой системы уравнений, так как его значения входят в вектор на последующих шагах численного интегрирования.
Примечание 2
Источники тока, зависящие от напряжений, относятся к неособым ветвям, их проводимости входят в матрицу , которая при этом может иметь недиагональный вид.
Примечание 3
Источники напряжения, зависящие от напряжений, в приведенных выше выражениях не учитываются, при их наличии нужно в матрице выделить столбец для этих ветвей, что приводит к появлению дополнительных слагаемых в правых частях уравнений (6) — (8).