В задачах безусловной оптимизации необходимые условия представляют собой равенство нулю градиента целевой функции

В общей задаче математического программирования необходимые условия экстремума, называемые условиями Куна-Таккера, формулируются следующим образом:
Для того чтобы точка была экстремальной точкой выпуклой задачи математического программирования (ЗМП), необходимо наличие неотрицательных коэффициентов , таких, что
 (1)

и при этом соблюдались ограничения задачи, а также выполнялось условие
 (2)

где — число ограничений типа неравенств, — то же равенств, коэффициенты .
За приведенной абстрактной формулировкой условий скрывается достаточно просто понимаемый геометрический смысл. Действительно, рассмотрим сначала случай с ограничениями только типа неравенств. Если максимум находится внутри допустимой области , то, выбирая все , добиваемся выполнения (1); если же точка максимума лежит на границе области , то, как видно из левой части рис. 1, эту точку всегда соответствующим подбором неотрицательных можно поместить внутрь оболочки, натянутой на градиенты целевой функции и функций-ограничений . Наоборот, если точка не является экстремальной, то (1) нельзя выполнить при любом выборе положительных коэффициентов (см. правую часть рис. 1, где рассматриваемая точка лежит вне выпуклой оболочки, натянутой на градиенты). Учет ограничений типа равенств очевиден, если добавляется последняя из указанных в (2) сумма.
Рис. 1.  Пояснение условий Куна-Таккера