Систему, математической моделью которой является система обыкновенных дифференциальных уравнений, называют динамической системой. Другое название динамической системы — детерминистическая система, поскольку она соответствует принципу детерминизма, согласно которому будущее поведение системы предсказуемо, если известно текущее ее состояние. Классический пример применения детерминизма — ньютоновская "механическая" вселенная.
Решения уравнений динамической системы можно представить, как движение некоторой точки в пространстве с размерностью, равной числу зависимых переменных системы уравнений. Траекторию движения этой точки называют фазовой траекторией системы. Поведение фазовой траектории в смысле устойчивости показывает, что существует несколько основных типов траекторий, когда все решения системы в конечном счете сосредотачиваются на некотором подмножестве. Такое подмножество называется аттрактором. Аттрактор имеет область притяжения, т.е. такое множество начальных точек, что начавшиеся в них фазовые траектории стремятся к этому аттрактору.
Динамическая система, состояние которой полностью определяется начальными условиями и внешними воздействиями в процессе развития, является устойчивой динамической системой. Основными типами аттракторов при этом являются:
Движение точки в таких случаях имеет апериодический, периодический или квазипериодический характер.
Наряду с устойчивыми динамическими системами существуют хаотические динамические системы. Это тоже детерминистические системы, но их поведение предсказуемо только теоретически, поскольку для предсказания требуется знать начальное состояние системы с абсолютной точностью, что практически недостижимо.
В фазовом пространстве хаотической системы имеется область, притягивающая к себе из окрестных областей все фазовые траектории. Эти траектории имеют сложную и запутанную структуру и представляют собой незамкнутые кривые. Эта область называется странным аттрактором (или перемешивающим слоем). Странные аттракторы характерны только для диссипативных систем, в их фазовом пространстве движение точки является неустойчивым, любые две траектории всегда расходятся, малое изменение начальных данных приводит к различным путям развития. Следовательно, динамика систем со странными аттракторами является хаотической.
Уникальным свойством странных аттракторов является масштабная самоповторяемость. Это означает, что увеличивая участок аттрактора, содержащий бесконечное количество кривых, можно убедиться в его подобии крупномасштабному представлению части аттрактора. Для объектов, обладающих способностью бесконечно повторять собственную структуру на мелкомасштабном уровне, существует специальное название — фракталы.
Для динамических систем, зависящих от некоторого параметра, характерно, как правило, плавное изменение характера поведения при изменении параметра. Однако для параметра может иметься некоторое критическое (бифуркационное) значение, при переходе через которое аттрактор претерпевает качественную перестройку и, соответственно, резко меняется динамика системы, например, теряется устойчивость. Потеря устойчивости происходит, как правило, переходом от точки устойчивости к устойчивому циклу (мягкая потеря устойчивости), выход траектории с устойчивого положения (жесткая потеря устойчивости), рождение циклов с удвоенным периодом. При дальнейшем изменении параметра возможно возникновение торов и далее странных аттракторов, то есть хаотических процессов.