Динамическая система, процессы в которой характеризуются странным аттрактором, является хаотической системой. Динамическая система хаотична тогда и только тогда, когда у нее существует незамкнутая фазовая траектория. В отличие от устойчивой динамической системы определить состояние хаотической системы по заданным значениям времени и начальных условий невозможно.
Приведем примеры моделей хаотических систем.
1. /=+-,
=-,
=--(),
где ()= 0 при 0 и ()=1 при 0.
2. Система уравнений Лоренца — трехмерная система нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка вида
/ = – + ,
/= – + – , (1)
3/= –
В ней s, b и r — параметры. Эта система возникла в задаче о моделировании конвективного течения жидкости, подогреваемой снизу. Такое течение описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Система (1) получается из нее проектированием на специальное трехмерное подпространство.
В результате численного интегрирования системы (1) Э. Лоренц обнаружил, что при s = 10, b = 8/3 и r = 28 у этой динамической системы, с одной стороны, наблюдается хаотическое, нерегулярное поведение всех траекторий и все траектории притягиваются к аттрактору рис. 1. На рис. 2 приведена зависимость от времени.
Рис. 1. Пример странного аттрактора (для задачи Лоренца)
Рис. 2. Хаотические колебания (зависимость переменной x1 от времени в задаче Лоренца)
