Для выполнения различных математических преобразований и вычислений важно иметь возможность представить любую натуральную степень алгебраического бинома (двучлена) в развернутой форме многочлена. При малых степенях искомый многочлен несложно получить непосредственным перемножением биномов. В частности, из курса элементарной математики хорошо известны следующие формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых:
(X + Y)2 = X2 + 2XY + Y2 и (X + Y)3 = X3 + 3X2Y + 3XY2 + Y3 .
В общем случае для произвольной натуральной степени n бинома искомое представление в форме многочлена предоставляет биномиальная теорема Ньютона, которая декларирует выполнение следующего равенства:
(X + Y)n = C0nXnY0 + C1nXn−1Y1 + … + Cьn Xn−mYm + … + Cn-1nX1Yn−1 + CnnX0Yn
Это равенство обычно называют бином Ньютона. Многочлен в его правой части образует сумма произведений n слагаемых X и Y бинома левой части, а коэффициенты перед ними называются биномиальными и равны числам сочетаний с индексами, которые получаются по их степеням. Учитывая особую популярность формулы бинома Ньютона, термины биномиальный коэффициент и число сочетаний общепринято считать синонимами. Очевидно, что формулы квадрата и куба суммы являются частными случаями биномиальной теоремы при n=2 и n=3, соответственно. Для обработки более высоких степеней (n>3) следует использовать формулу бинома Ньютона. Ее применение для бинома степени n=4 демонстрирует следующий пример:
(1 + Z)r = C0rZ0 + C1r Z1 + C2r Z2 + … + Ckr Zk + …
Например, при положительном дробном значении показателя степени r = 1/2 с учетом значений биномиальных коэффициентов получается следующее разложение:
(1 + Z)1/2 =1 + 12Z - 1222!Z2 + 1·3233!Z3 - 1·3·5244!Z4-...
В общем случае формула бинома Ньютона при любом показателе является частным вариантом формулы Маклорена, которая дает разложение произвольной функции в степенной ряд. Ньютон показал, что при |z| < 1 этот ряд сходится, и сумма в правой части становится конечной. При любой натуральной степени r = n в правой части также получается конечная сумма из (n+1) первых слагаемых, так как все C(n, k>n) = 0. Если теперь положить Z=X/Y и умножить левую и правую части на Yn, то получится вариант формулы бинома Ньютона, рассмотренный выше.
Несмотря на свою универсальность, биномиальная теорема сохраняет комбинаторный смысл только при целых неотрицательных степенях бинома. В таком варианте с ее помощью можно доказать несколько полезных тождеств из биномиальных коэффициентов. В частности, выше были рассмотрены формулы суммирования чисел сочетаний по нижнему индексу и по обоим индексам. Недостающее тождество суммирования чисел сочетаний по верхнему индексу легко получить из формулы бинома Ньютона, положив в ней X=Y=1 или Z=1. В результате такой подстановки получается следующее соотношение:
C0n + C1n + ... + Cmn + ... + Cnn = 2n
Еще одно полезное тождество устанавливает равенство сумм биномиальных коэффициентов с четными и нечетными номерами (которые совпадают с верхними индексами соответствующих чисел сочетаний). Оно немедленно получается из формулы бинома Ньютона, если положить в ней X=1 и Y=(-1) или Z=(-1):
C0n - C1n + C2n - C3n + C4n - C5n + ... + (-1)nCnn=0 -> C0n + C2n + C4n + ... = C1n + C3n + C5n +...
Наконец, из обоих рассмотренных тождеств получается тождество суммы биномиальных коэффициентов только с четными или только с нечетными номерами, которое можно записать следующим образом:
C0n + C2n + C4n + ... = C1n + C3n + C5n + ... = 2n-1
На основе рассмотренных тождества и рекуррентного правила вынесения индексов из под знака числа сочетаний можно получить целый ряд интересных соотношений. Например, если в формуле суммирования чисел сочетаний по верхнему индексу везде заменить n на (n-1) и вынести индексы в каждом слагаемом, то получится следующее соотношение:
C1n + 2C2n + ... + mCmn + ... + nCnn = n·2n-1
Используя аналогичную технику в формуле суммы биномиальных коэффициентов с четными и нечетными номерами, можно доказать справедливость, например, следующего соотношения:
C1n - 2C2n + 3C3n - 4C4n + 5C5n + ... + (-1)n-1nCnn = 0
Еще одно полезное тождество позволяет легко вычислить сумму произведений симметрично расположенных биномиальных коэффициентов двух биномов произвольных степеней n и k по следующей формуле, предложенной Коши:
C0nCmk + C1nCm-1k + ... + CmnC0k = Cmn+k
Справедливость этой формулы вытекает из необходимого равенства коэффициентов при любой степени m переменной Z в левой и правой части следующего тождественного соотношения:
(1 + Z)n (1 + Z)k = (1 + Z)n+k
В частном случае, когда n=k=m при учете тождества симметрии получается более популярная формула суммы квадратов биномиальных коэффициентов, которая имеет следующий вид:
(C0n)2 + (C1n)2 + ... + (C2n)2 = Cn2n
В обширной комбинаторной литературе можно найти много других полезных применений для биномиальных коэффициентов и бинома Ньютона. Например, биномиальная теорема дает эффектный способ, как возвести число 11 в любую натуральную степень n путем подстановки Z=10 в формулу бинома Ньютона. В частности, при n=4 получается следующей результат:
114 = (1 + 10)4 = 1·100 + 4·101 + 6·102 + 4·103 + 1·104 = 1464.
Тем не менее, одно из их наиболее популярных практических и одновременно развлекательных приложений биномиальных коэффициентов связано с треугольником Паскаля