Как отмечалось ранее, любая перестановка различных элементов всегда может быть задана подстановкой этих элементов, которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между ними в форме таблицы переходов. Кроме того, любую такую подстановку можно представить разбиением на циклы переходов ее элементов. При этом элементы каждого цикла обычно перечисляются в квадратных скобках, а разбиение на циклы задает строка из таких скобочных записей. Подобное представление является однозначным, если не различать записи циклов, которые получены циклическим сдвигом всех своих элементов, или перестановкой циклов. В частности, следующие записи обозначают одно и тоже разбиение на два цикла и соответствуют одной подстановке последовательных натуральных чисел от 1 до 5:
[125] [34] = [512] [43] = [34] [125] =
Напротив следующие 2 разбиения на циклы с тем же составом элементов являются различными и соответствуют двум разным подстановкам:
= [125] [34] ≠ [152] [3] [4] =
Для однозначности принято начинать запись каждого цикла с его минимального элемента и упорядочивать циклы по возрастанию значений их минимальных элементов. Очевидно, что любую подстановку можно представить в такой форме, если запись каждого ее цикла начинать с минимального по значению элемента, который не участвует в предыдущих циклах, а следующие элементы последовательно добавлять в записи циклов до повторения их начальных элементов. При этом каждая пара последовательных элементов записи любого цикла должна соответствовать переходу подстановки для этих элементов, как показано в следующем примере для элементов i и j:
~ ... [ ... i j ... ] ...
По аналогичному принципу можно строить разбиения на циклы для числовых перестановок или наоборот, получать перестановку по циклам разбиения. При этом используется такое соответствие, что если элемент j следует за элементом i в каком-либо цикле разбиения, то этот элемент j занимает позицию с номером i в соответствующей перестановке:
( … ji … ) <−> [ … i j … ].
Таким образом, между подстановками, перестановками и разбиениями на циклы всегда имеет место взаимно однозначное соответствие. Например, в следующей таблице перечислены все 6 различных перестановок чисел 1, 2, 3 и соответствующие им разбиения на циклы:
Таблица 1    
(112233)(311223)(213213)(211233)(312213)(113223)
[1] [2] [3][132][123][12] [3][13] [2][1] [23]

В общем случае указанное взаимно однозначное соответствие может быть использовано для классификации подстановок и перестановок по числу и длине циклов разбиений. При этом любой цикловой класс (K) принято задавать вектором (K1 … Kj … Kn), где каждая компонента Kj обозначает число циклов из j элементов. По очевидным соображениям все компоненты Kj любого циклового класса должны быть неотрицательными целыми числами, значения которых находятся в пределах от 0 до (n/j). Различные цикловые спецификации, которые образуются комбинацией таких значений, дают целочисленные решения следующего уравнения:
1∙K1 + … + j∙Kj + … n∙Kn = n.
Их принято перечислять в возрастающем лексиграфическом порядке значений переменных, ограничившись диапазоном от (0n−11) до (n 0n−1). Например, при n=3 такое уравнение имеет следующие 3 целочисленные решения в указанном диапазоне
(K1 = 0, K2 = 0, K3 = 1); (K1 = 1, K2 = 1, K3 = 0); (K1 = 3, K2 = 0, K3 = 0).
Соответствующие спецификации цикловых классов, перечень и число разбиений на циклы для каждого из них приведены в следующей таблице:
Таблица 2    
Цикловый класcРазбиения на циклыЧисло разбиений
(001)[132]; [132]2
(110)[12] [3]; [13] [2]; [1] [23]3
(300)[1] [2] [3]1

В общем случае число разбиений на циклы n элементов в произвольном цикловом классе (K) можно определить по следующей формуле:
С(K1 … Kj … Kn) = n!(1k1∙K1!) … (jkj∙Kj!) … (nkn∙Kn!)
Например, при n=3 число разбиений в цикловом классе (110), определенное по этой формуле, получается равно 3, что совпадает с соответствующим значением в таблице выше:
С(110) = 3!(11∙1!) … (21∙1!) … (30∙0!) = 3
Пусть теперь требуется подсчитать все перестановки из n элементов, которые представлены разбиением на фиксированное число циклов m≤n без учета их длины. Они образуют цикловые классы, спецификации которых удовлетворяют целочисленным решениям следующей пары уравнений:
K1 + … + Ki + … Km = m и 1∙K1 + … + i∙Ki + … m∙Km = n.
В частности, при n=4 и m=3 такая пара уравнений имеют единственное решение, которое специфицирует цикловой класс (210). Его составляют следующие 6 различных разбиений n=4 элементов, например, 1, 2, 3 и 4 на m=3 цикла:
[1] [2] [34]; [1] [24] [3]; [14] [2] [3]; [1] [23] [4]; [13] [2] [4]; [12] [3] [4].
В общем случае количество разбиений n элементов на m циклов при любых значениях n≥m>0 определяется по числам Стирлинга первого рода. Формально эти числа равны коэффициентам полинома, который образуется перемножением n двучленов вида (Z+m), где m принимает все последовательные значения от 0 до (n−1):
[Z]n = Z(Z+1)(Z+2) … (Z+n−1) = [nn]∙Zn + [nn-1]∙Zn-1 + … + [nm]∙Zm + … +[n1]∙Z1.
Произведение двучленов в левой части этого преобразования принято называть возрастающей факториальной степенью произвольной переменной Z (оно равно n! при Z=1). "Квадратные" коэффициенты при обычных алгебраических степенях Z от n до 1 в правой части обозначают числа Стирлинга первого рода. Таким образом, числа Стирлинга первого рода обеспечивают разложение факториальной степени по обычным алгебраическим степеням. Например, при n=4 такой разложение имеет следующий вид:
[Z]4 = Z(Z+1)(Z+2)(Z+3) = ∙Z4 + ∙Z3 + ∙Z2 + ∙Z1
Равенство левой и правой частей этого разложения обеспечивают следующие значения чисел Стирлинга первого рода:
= 1; = 6; = 11; = 6
В общем случае значения чисел Стирлинга первого рода при любых положительных целых величинах n≥m>0 можно записать в форме бесконечной нижнетреугольной матрицы, которая называется треугольником Стирлинга первого рода. Его начальный фрагмент, например, при 1≤n,m≤8 можно представить следующей таблицей:
Таблица 3    
n...
110000000...
211000000...
323100000...
4611610000...
5245035101000...
61202742258515100...
7720176416247351752110...
85040130681313267691960322281...
..............................

По своей конфигурации эта таблица напоминает треугольник Паскаля. При этом структурные свойства и соотношения для заполняющих ее чисел можно интерпретировать на основе анализа соответствующих разбиений на циклы и их цикловых классов. Такой анализ проводится ниже для граничных и внутренних элементов треугольника Стирлинга первого рода. Любые значения за его границами не имеют комбинаторного смысла и принимаются равными нулю:
= = = 0
Числа в крайнем левом столбце треугольника Стирлинга первого рода (m=1) идентифицируют мощность циклового класса (0n−11) при различных значениях n>0. Его составляют циклические подстановки, где все элементы образуют один цикл. В частности, мощность циклового класса (0001) равна 6, потому что из элементов, например, 1, 2, 3, 4 можно сформировать 6 циклов:
[1234]; [1423]; [1342]; [1243]; [1324]; [1432].
В общем случае все циклы из n элементов можно получить следующим образом. Фиксируется начальное положение наименьшего элемента, а остальные (n−1) элементов переставляются всеми (n−1)! возможными способами в циклической записи перестановки. В результате из n элементов образуется (n−1)! различных циклов. Таким образом, мощность класса циклических подстановок из n элементов равна (n−1)! и справедливо следующее соотношение для чисел Стирлинга первого рода:
= (n - 1)!
Числа Стирлинга первого рода на диагональной границе своего треугольника, где m=n, равны 1 при любых значениях n. Это означает, что может быть только 1 разбиение n элементов на n одноэлементных циклов, которое соответствует тождественной подстановке:
I = ~ [1] ... [j] ... [n].
Таким образом, подобно другим комбинаторным треугольникам, для чисел Стирлинга первого рода выполняется следующее соотношение для любых значений n:
= 1.
Следует также отметить комбинаторные свойства чисел непосредственно под диагональной границей треугольника Стирлинга первого рода. Их значения при любых n>0 и m=(n−1) дают число различных подстановок, которые могут быть получены транспозицией двух элементов без изменения положения остальных (n−2) элементов. Ясно, что любой транспозиции должен соответствовать цикл из двух элементов, в то время как остальные элементы образуют (n−2) одноэлементных цикла. Таким образом, общее число циклов при транспозиции равно (n−1). В частности, при n=4 путем транспозиции можно получить следующие 6 разбиений, например, элементов 1, 2, 3 и 4 на (n−1)=3 цикла:
[1] [2] [34]; [1] [24] [3]; [14] [2] [3]; [1] [23] [4]; [13] [2] [4]; [12] [3] [4].
В общем случае количество таких разбиений определяет разнообразие вариантов выбора из n элементов двух элементов, которые оказываются в одном цикле транспозиции, и поэтому равно числу сочетаний из n элементов по 2. Таким образом, получается следующее соотношение для чисел под диагональю треугольника Стирлинга первого рода:
= = n(n - 1)2.
Внутренние числа треугольника Стирлинга первого рода образуются по следующему правилу. Каждое число в любой строке n>1 и столбце m>1 получается сложением числа слева над ним и числа непосредственно над ним, которое умножено на (n−1). Формально это мнемоническое правило отражает следующее рекуррентное соотношение, которое можно использовать для рекурсивного определения чисел Стирлинга первого рода при любых значениях n>m>1:
= + (n - 1) = 0.
Например, при n=4 и m=2 соответствующее число Стирлинга первого рода можно получить по этому рекуррентному соотношению и граничным значениям для m=1 и n=m:
= [31] + 3 = + 3 + 6 = 2! + 3∙1! + 6∙1 = 11
Такой же результат можно также получить более коротким рекуррентным путем, используя формулу поддиагональных чисел Стирлинга первого рода, как показано в следующем примере:
= [31] + 3 = (3 - 1)! + 3 = 2 + 3∙3 = 11
В общем случае рассмотренное рекуррентное соотношение для чисел Стирлинга первого рода формально вытекает из следующего рекурсивного определения возрастающих факториалов:
[Z]n = (Z + n − 1)[Z]n−1.
Это становится ясно, если подставить в его левую и правую части полиномиальное разложение факториальных степеней по обычным степеням Z и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях Z с обеих сторон полученного выражения. Этот подстановочный прием иллюстрирует следующий пример для случая n=3:
Рис. 1.  
Кроме того, используя соответствие между числами Стирлинга первого рода и разбиениями на циклы, рассмотренному рекуррентному соотношению можно дать следующую комбинаторную трактовку. Согласно данному рекуррентному соотношению искомые разбиения n элементов на m циклов образуются из разбиений (n−1) элементов на (m−1) и m циклов. При этом каждое разбиение n элементов на циклы сводится или к размещению элемента n в отдельный цикл, или к добавлению его в один из m уже имеющихся циклов. В первом случае к каждому разбиению на (m−1) циклов добавляется одноэлементный цикл [n]. Это дает столько же разбиений теперь уже n элементов на m циклов и численно соответствует первому слагаемому рекуррентного соотношения. Во втором случае, когда элемент n размещается в уже существующие циклы, его можно расположить после любого из их элементов, не создавая новых циклов. Для каждого разбиения (n−1) элементов это можно сделать (n−1) способами и получить в (n−1) раз больше разбиений уже n элементов на m циклов, что количественно соответствует второму слагаемому рекуррентного соотношения.