Размещением с повторением элементов называется упорядоченная выборка фиксированного числа m необязательно различных элементов мультимножества, где любой из его n различных элементов имеется в неограниченном числе экземпляров. Это значит, что любой элемент такого множества можно выбрать произвольное число раз, и количество его повторений ограничивает только размер выборки m. Когда размер выборки превышает разнообразие типов элементов заданного мультимножества (m>n), любые размещения гарантированно имеют повторения элементов. Например, размещения с повторениями n=2 различных элементов мультимножества {3X, 3Y} по m=3 элементов образуют следующие 8 частично упорядоченных троек, в каждой из которых имеются одинаковые элементы:
(XXX); (XXY); (XYX); (YXX); (XYY); (YXY); (YYX); (YYY).
Если требуемый размер выборки не превышает разнообразие различных элементов заданного мультимножества (m≤n) и, по-прежнему, допустимы повторения любых элементов выборки, то некоторые размещения будут состоять из различных элементов. Например, полный набор всех размещений из n=3 различных элементов мультимножества {2X,2Y,2Z} по m=2 необязательно различных элемента, образуют следующие 9 частично упорядоченных пар, где 6 пар состоят из различных элементов, а 3 пары имеют одинаковые элементы:
(XX); (XY); (XZ); (YX); (YY); (YZ); (ZX); (ZY); (ZZ).
В общем случае число размещений с повторениями из n элементов по m элементов для любых целочисленных значений n>0 и m>0 будет гарантированно положительно. Оно вычисляется по следующей формуле, независимо от соотношения между n и m:
U(n, m) = nm.
Эта формула имеет следующее комбинаторное обоснование. Каждая из m позиций размещения может быть заполнена n различными способами, так как запасы элементов гарантирует такую возможность после любого выбора. В результате общее число вариантов заполнения позиций будет равно произведению m значений n. В справедливости рассмотренной формулы можно убедиться, определив по ней количество размещений с повторениями для обоих примеров, рассмотренных выше, когда n=2 и m=3 или, наоборот, если n=3 и m=2:
U(2, 3) = 23 = 8 и U(3, 2) = 32 = 9.
В общем случае из рассмотренной формулы очевиден экспоненциальный характер зависимости U(n,m). Поэтому число размещений быстро возрастает при увеличении значений параметров n и, особенно, m. В частности, при минимальном из практически интересных значений n, когда оно равно 2, число размещений с повторениями по m элементов определяется степенями двойки и при увеличении значения m растет также быстро, как, например, число подмножеств конечного множества из m элементов.
Для систематического перечисления размещений с повторениями из n элементов по m удобно индексировать все различные элементы образующего мультимножества целыми числами от 0 до n−1. Тогда любому такому размещению будет соответствовать m-разрядное целое число в системе счисления по основанию n:
N = dmnm + … + dini + … + d1n1
При этом значения всех разрядов di обозначают индексы элементов, которые выбираются для размещения. Последовательное перечисление всех таких чисел N, очевидно, эквивалентно перечислению всех размещений, элементы которых могут быть всегда восстановлены по значениям разрядов этих чисел. В частности, если значение разряда i такого числа есть di=j, то в позиции размещения, которая имеет номер i, должен стоять элемент Ej образующего мультимножества:
di −> Edi; 1 ≤ i ≤ m; 0 ≤ di ≤ (n − 1).
В следующей таблице таким методом перечислены все возможные размещения с повторениями из n=3 элементов E0, E1 и E2 по m=2 элемента и соответствующие им 2-разрядные числа в системе счисления по основанию 3, которые образуют пары разрядов со значениями 0, 1 и 2:
Таблица 1    
000102101112202122
(E0E0)(E0E1)(E0E1)(E1E0)(E1E1)(E1E2)(E2E0)(E2E1)(E2E2)

Рассмотренный перечислительный метод основан на соответствии между целыми числами и размещениями с повторениями. Это позволяет последовательно перечислять числа и обращать каждое из них в соответствующее размещение элементов по его представлению в определенной системе счисления. Такой метод требует определенных вычислительных затрат на обращение чисел в размещения элементов, но гарантирует систематический характер перечислений.