Под решением задачи оптимального проектирования понимается процесс выбора управляемых переменных , обеспечивающих оптимальное значение некоторой функции (). Эта величина, показывающая относительное предпочтение одних значений компонент вектора по отношению к другим значениям этих компонент, называется критерием оптимальности (функцией цели, критерием эффективности, функцией полезности и т.д.).
В зависимости от цели проектирования необходимо либо максимизировать, либо минимизировать критерий оптимальности. Будем полагать, что требуется минимизировать критерий оптимальности.
Детерминированная задача оптимального проектирования (детерминированная задача оптимизации) формулируется следующим образом:

 (1)

где - оптимальное значение вектора варьируемых параметров (переменных), - наименьшее, т.е. оптимальное значение критерия оптимальности ().
Задача оптимизации, в которой критерий оптимальности () и/или ограничивающие функции () зависят от случайного вектора внешних параметров , называется стохастической задачей оптимального проектирования (стохастической задачей оптимизации).
Заместим, что задача максимизации критерия оптимальности Φ(X) сводится к задаче минимизации критерия (-()):

Имея в виду специфику задач оптимального проектирования, сделаем следующее допущение.
Допущение 2. Если не оговорено противное, функция () в своей области допустимых значений определена, непрерывна и, за исключением, быть может отдельных точек, имеет в этой области конечные частные производные.
Из курса математического анализа известна следующая теорема.
Теорема 1 (теорема Вейерштрасса). Если функция () определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она достигает в этой области своего наименьшего и наибольшего значений
Таким образом, в допущениях 1,2 детерминированная задача оптимального проектирования (1) имеет решение.
Пример 1
Тело массой m с двигателем находится в момент времени =0 в состоянии покоя в точке с координатой Тело может перемещаться вдоль оси под действием силы тяги двигателя. Максимальная сила тяги двигателя равна . При движении тела на него действует сила сопротивления среды =-, где – скорость тела. Расход горючего при работе двигателя пропорционален квадрату силы тяги, т.е. равен , где -сила тяги двигателя.
Необходимо на интервале времени [0,] так управлять работой двигателя, чтобы при минимальном расходе топлива закон движения тела () как можно меньше отличался от требуемого закона движения (). Т.е. требуется найти оптимальную функцию ().
Пусть ()=((),()), где
()=()=().
Тогда по второму закону Ньютона имеем
()=()+=()-().
Здесь () – ускорение тела.
Таким образом, получаем следующую задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

 (2)

где [0,],().
Требование близости траектории тела к заданной траектории формализуем с помощью критерия оптимальности

 (3)

а требование минимизации расхода топлива - с помощью критерия

 (4)

В качестве критерия оптимальности задачи рассмотрим взвешенную сумму указанных «частных» критериев

 (5)

Будем искать оптимальное управление *() на классе кусочно-постоянных функций (см. рис. 1).
Рис. 1.  Структура допустимых управлений u(t).
В качестве вектора варьируемых параметров будем рассматривать n-мерный вектор
=(,,...,), [1,].
Тогда задача поиска оптимального управления () сводится к n-мерной детерминированной задаче оптимизации
()=(),={=(), [1,]},
где значения функции () вычисляются по следующей схеме:
  • задаем значения ,,..., управления () в точках ,,...,;
  • с кусочно-постоянным управлением, показанным на рис. 1, интегрируем систему обыкновенных дифференциальных уравнений – получаем вектор (), [0,];
  • по формулам (3), (4) вычисляем значения частных критериев оптимальности а затем по формуле (5) – значение критерия оптимальности ().
      Замечание. Рассмотренная задача представляет собой задачу оптимального управления динамической системой. Позже будут рассмотрены более корректные методы численного решения этой задачи.