Рассмотрим задачу поиска минимума одномерной функции (), определенной на интервале :

Как известно из курса математического анализа, внутренние точки локального и глобального минимума функции () являются стационарными точками критерия оптимальности () (см. рис. 1) или, что то же самое, решениями уравнения

Но, решениями уравнения (1) являются не только точки минимума, но и точки максимума и точки перегиба функции () (см. рис. 1). Следовательно, уравнение (1) является только необходимым условием минимума, но не является достаточным условием.

Если существует вторая производная функции (), то для отыскания достаточных условий минимума () можно привлечь эту производную. Из курса математического анализа известно, что если в точке значение первой производной функции () равно нулю, а второй производной – положительно, то в этой точке функция () имеет минимум (локальный или глобальный).

Таким образом, имеем следующую теорему:

Теорема 1. Если функция () определена и дважды непрерывно дифференцируема на интервале [,], то необходимыми и достаточными условиями минимума этой функции в точке являются условия

Приведем доказательство справедливости последнего условия. Для этого рассмотрим разложение функции () в ряд Тейлора в окрестности точки :

(2)

Здесь – некоторая достаточно малая величина.

Для того, что в точке достигался минимум функции (), необходимо, чтобы разность была положительной. Поскольку , то из (2) следует, что для выполнения этого условия необходимо, чтобы имело место неравенство

Точками, в которых функция () принимает наименьшее на интервале значение, могут быть либо ее стационарные точки, лежащие внутри интервала , либо ее точки недифференцируемости (критические точки критерия оптимальности), к которым следует отнести также концы интервала .

Поэтому точку, в которой функция принимает наименьшее на интервале значение, нужно искать, сравнивая значения этой функции во всех стационарных и критических точках.