Многие методы решения многомерной задачи нелинейного программирования основаны на сведении этой задачи к задаче безусловной оптимизации. Поэтому рассмотрим -мерную задачу оптимизации без ограничений
 (1)

По аналогии с одномерной задачей, для того, чтобы точка являлась минимумом функции () необходимо выполнение условия стационарности функции () в точке или, что то же самое, необходимо, чтобы точка была стационарной точкой функции ():
 (2)

Положим, что функции () дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки . Для поиска достаточного условия достижения этой функцией в точке минимума, разложим () в окрестности точки в ряд Тейлора:
 (3)

Здесь -мерный вектор-столбец достаточно малых величин , -матрица Гессе.
По аналогии с одномерной задачей, для того, что в точке достигался минимум функции (), необходимо, чтобы разность была положительной. Поскольку , то из (3) следует, что для выполнения этого условия необходимо, чтобы матрица Гессе () была положительно определена в точке .
Таким образом, справедлива
Теорема 1. Если функция () дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки Rn, то необходимыми и достаточными условиями минимума этой функция в точке являются условия:
 (4)

() - положительно определена
Таким образом, теорема 1 определяет необходимые и достаточные условия минимума в многомерная задача безусловной оптимизации.
Заметим, что условие ()=0 является только необходимым условием минимума в многомерной задаче безусловной оптимизации.
По аналогии с одномерной задачей точками, в которых функция () достигает своего наименьшего значения, могут быть либо ее стационарные точки функции, либо критические точки функции (точки недифференцируемости).
Поэтому так же, как в одномерной задаче, точку, в которой функция () принимает наименьшее значение нужно искать, сравнивая значения этой функции во всех стационарных и критических точках.