Рассмотрим -мерную задачу выпуклого программирования

() – выпуклая функция, – выпуклое не пустое ограниченное и замкнутое множество допустимых значений вектора варьируемых переменных. Напомним, что по определению выпуклая функция является непрерывной.
Во внутренних точках множества допустимых значений функция () достигает минимального значения в точках, которые являются ее либо стационарными точками функции, либо критическими точками функции. Однако функция может достигать своего наименьшего значения и в граничных точках области определения .
Важные свойства задачи выпуклого программирования определяют две следующие теоремы.
Теорема 1. Если внутренняя точка множества является точкой локального минимума в задаче выпуклого программирования, то в этой точке функция достигает глобального минимума.
Доказательство. Положим, что в точке функция не достигает наименьшего во множестве значения. Тогда существует точка , для которой . Рассмотрим сечение . Функция () достигает в точке =0 наибольшее значение. Действительно, поскольку

Это значит, что существует окрестность точки и некоторое такие, что
. Но тогда , что противоречит условию теоремы
Из теоремы следует, что во всех точках локального минимума выпуклая функция имеете одинаковые значения.
Пример 1
Рассмотрим не строго выпуклую квадратичную функцию , определенную в области = (см. рис. 1). Все локальные минимумы этой функции равны нулю и расположены на прямой -+=0 .
MATLAB-программа:
x=-2:0.06:2;
y=x;
[X,Y]=meshgrid(x);
Z=(X+Y).^2;
V=[0.025,0.5,1,2,4,8];
[C,h]=contour(X,Y,Z,V);
clabel(C,h);
Рис. 1.  К прим. 1
Теорема 2. Функция (), строго выпуклая функция на выпуклом множестве, имеет в этом множестве не более одной точки минимума (глобального)
Условие существования решения задачи выпуклого программирования дает следующая теорема.
Теорема 3. Пусть функция () выпукла на выпуклом множестве и дифференцируема в точке Тогда для того чтобы эта точка была точкой минимума функции (), необходимо и достаточно, чтобы для любой точки выполнялось неравенство
 (1)

Необходимость. Рассмотрим сечение функции (). Функция () определена на отрезке [0,1], имеет в точке =0 локальный минимум и дифференцируема в этой точке. Следовательно (равенство нулю имеет место в том случае, когда точка является внутренней точкой множества ). По правилу дифференцирования сложной функции
Достаточность. Пусть в точке выполнено неравенство (1). Рассмотрим сечение функции (), где – произвольная точка из множества . Поскольку () выпукла во множестве , то функция () также выпукла на отрезке [0,1]. Кроме того, из неравенства (1) следует, что (0)0. Это означает, что () - неубывающая отрезке [0,1] функция, т.е. (0)(1). Последнее неравенство означает, что и в точке функция () принимает наименьшее в области значение
Теорему 3 иллюстрирует рис. 2, линии уровня на котором получены с помощью следующей MATLAB-программы:
x=-2:0.06:-0.1;
y=x;
[X,Y]=meshgrid(x);
Z=100.*(Y-X.^2).^2+(1-X).^2;
V=[2,8,32,125,250,500,1000,2000];
contour(X,Y,Z,V);
[C,h]=contour(X,Y,Z,V);
clabel(C,h);
Точка на рис.рис. 2 является точкой локального минимума, поскольку не существует такой точки , что скалярное произведение ((),(-)) отрицательно. Точка , например, не является точкой локального минимума, так как существуют такие точки , что скалярное произведение ((),(-)) отрицательно.
Рис. 2.  К теореме 3.
Заметим, что если точка является внутренней точкой множества , то условие (1) эквивалентно условию . Таким образом, условие (1) можно рассматривать как обобщение необходимого условия минимума в многомерной задаче безусловной оптимизации.