Рассмотрим следующую задачу условной оптимизации: найти минимум одномерной унимодальной функции (), определенной в замкнутой области допустимых значений =[,],
()=().
Свойства золотого сечения.
Рассмотрим интервал [,] (см. рис. 1). Говорят, что точка c выполняет золотое сечение интервала [,], если
 (1)

где =0,618- решение квадратного уравнения
 (2)

Рис. 1.  К определению золотого сечения отрезка.
Из определения золотого сечения следует, что . Действительно,

Алгоритм золотого сечения.
Алгоритм золотого сечения относится к классу последовательных методов поиска.
  1. Выполняем присваивания , , , .
  2. Вычисляем величины (см. Рис. 2)
     (3)

  3. Вычисляем значения функции ().
  4. Если , то выполняем присваивания , , . Иначе - выполняем присваивания , ,
  5. Если , то заканчиваем вычисления. Иначе - выполняем присваивание =+1 и переходим на п.2. Здесь – требуемая точность решения
Рис. 2.  К определению величин x1r, x2r.
В качестве приближенного значения точки минимума с равными основаниями может быть принята любая точка последнего текущего интервала неопределенности.
Некоторые свойства алгоритм золотого сечения.
Утверждение 1. Точки расположены симметрично относительно концов текущего интервала неопределенности.
Действительно, из (3) следует, что точка отстоит от точки на величину ; точка отстоит от точки на ту же величину
Утверждение 2. Для любого 1 алгоритм золотого сечения обладает следующим свойством: одна из точек , совпадает с одной из точек , .
Доказательство. Пусть на -й итерации . В соответствии с алгоритмом золотого сечения причем, очевидно, ТИНr+1 . Для того, чтобы доказать справедливость утверждения достаточно показать, что верно отношение

 (4)

Из соотношений (3) следует, что
.
Аналогично имеем
Разделив первый из этих результатов на второй, получим

 (5)

Из уравнения (2) следует, что 1-=. Отсюда и из (5) следует справедливость (4).
Аналогично проводится доказательство для случая
Указанное свойство алгоритма золотого сечения позволяет на каждой итерации (кроме первой) производить испытания только в одной точке.
Из схемы алгоритма золотого сечения имеем.
Утверждение 3. В результате одной итерации алгоритма золотого сечения длина текущего интервала неопределенности сокращается в раз
Поэтому количество итераций , необходимых для нахождения минимума функции с точностью , находится из условия

Из утверждения 3 и результатов предыдущего параграфа следует, что при достаточно больших алгоритм Фибоначчи практически идентичен алгоритму золотого сечения.