Метод квадратичной аппроксимации относится к семейству методов полиномиальной аппроксимации. Идея метода полиномиальной аппроксимации состоит в том, что в некоторой окрестности минимума функции () она аппроксимируется полиномом достаточно высокого порядка и в качестве точки минимума функции () (или в качестве очередного приближения к этой точке) принимается точка минимума аппроксимирующего полинома. В силу того, что аппроксимирующая функция является полиномом, этот минимум находится легко.
В качестве аппроксимирующих полиномов чаще всего используются полиномы второго и третьего порядков, т.е. квадратичная и кубическая аппроксимации.
Квадратичная аппроксимация.
Рассмотрим квадратичную аппроксимацию (см. рис. 1). Пусть в процессе решения задачи поиска минимума функции () тем или иным образом получены попарно не совпадающие точки , принадлежащие области допустимых значений (не обязательно упорядоченные слева направо!).
Рис. 1.  Квадратичная аппроксимация.
Построим квадратичную функцию

 (1)

проходящую через точки , , где .
Коэффициенты ,, функции (1) удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

 (2)

Определитель СЛАУ (2) является определителем Вандермонда, который отличен от нуля, если величины ,, попарно различны.
Таким образом, в сделанных предположениях СЛАУ (2) имеет решение и, притом единственное. Поскольку определитель СЛАУ (2) равен , это решение имеет вид
,
где , , .
Подставим найденные значения коэффициентов ,, в необходимое условие =0 минимума квадратичной функции (1), получим стационарную точку этой функции

 (3)

где
Метод квадратичной аппроксимации.
Рассмотрим следующую задачу условной оптимизации: найти минимум одномерной унимодальной функции (), определенной в замкнутой области допустимых значений =[,],
 (4)

Метод квадратичной аппроксимации относится к классу методов сокращения текущего интервала неопределенности. Пусть при решении задачи (4) каким-либо методом получены три точки , принадлежащие области допустимых значений, такие, что .
Схема метода квадратичной аппроксимации:
  1. Выполняем присваивания ,,,,.
  2. Вычисляем значения функции в точках , соответственно.
  3. По формуле (3) вычисляем величину и находим значение функции () в этой точке
  4. Находим следующие три точки:
    • случай (а) - если [,], то =,=,= (см. рис. 2);
    • случай (б) - если [,], то =,=,= (см. рис. 3).
  5. В качестве следующего текущего интервала неопределенности принимаем .
  6. Если , то заканчиваем вычисления. Иначе - выполняем присваивание =+1 и переходим на п.2. Здесь – требуемая точность решения
Рис. 2.  К методу квадратичной аппроксимации (случай а).
Рис. 3.  К методу квадратичной аппроксимации (случай б).
В качестве приближенного значения точки минимума с равными основаниями может быть принята любая точка последнего текущего интервала неопределенности.
Замечание. В силу условий , точка всегда принадлежит текущему интервалу неопределенности ТИНr=[,]