Рассмотрим многомерную задачу локальной условной оптимизации
 (1)

где множество допустимых значений определяется только ограничениями типа неравенств и представляет собой гиперпараллелепипед, т.е.
 (2)

Здесь — нижняя и верхняя границы области допустимых значений по -му измерению (см. рис. 1).
Рис. 1.  Область допустимых значений D в виде гиперпараллелепипеда; n = 2
Метод комплексов в многомерной задаче безусловной оптимизации рассмотрен в параграфе 8.2. В данном параграфе рассматривается модификация этого метода для решения многомерной задачи условной оптимизации - модифицированный метод комплексов.
Основные операции метода комплексов.
Напомним, что комплексом называется многогранник с вершинами (не обязательно выпуклый). Рекомендуется использовать комплекс с вершинами. Так же, как при решении задачи безусловной оптимизации, при решении задачи (1) методом комплексов используются следующие операции:
Генерация случайного комплекса. Координаты вершин случайного комплекса с вершинами могут быть найдены по формуле
 (3)

где — произвольная начальная точка, – номер вершины комплекса, — скаляр, определяющий размер комплекса, — реализация -мерного случайного вектора, — некоторая векторная норма. Обычно в качестве координат вектора используют независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале .
Отражение вершины комплекса с растяжением. Положим, что задан комплекс с вершинами , и его вершину необходимо отразить через центр тяжести комплекса с растяжением. В новом комплексе все вершины, кроме -ой, совпадают с соответствующими вершинами исходного комплекса , а -я вершина находится на прямой, проходящей через центр тяжести этого комплекса и его вершину (см. рис. 2). Обозначим координаты вершин нового комплекса . Тогда имеем
 (4)

где — коэффициент растяжения (рекомендуемое значение — ), — вектор координат центра тяжести комплекса :
 (5)

Рис. 2.  Отражение вершины комплекса Crчерез центр его тяжести с растяжением. Пунктиром показан новый комплекс Cr+1.
Сжатие комплекса. Положим, что задан комплекс с вершинами , и его вершину необходимо переместить ближе к центру тяжести комплекса — выполнить сжатие комплекса. В новом комплексе все вершины, кроме -ой, совпадают с соответствующими вершинами исходного комплекса , а -я вершина находится на прямой, проходящей через центр тяжести этого комплекса и его вершину (см. рис. 3). Обозначим координаты вершин нового комплекса . Тогда имеем
 (6)

где — коэффициент растяжения (рекомендуемое значение — 2), — вектор координат центра тяжести комплекса (см. (5)).
Рис. 3.  Сжатие комплекса Cr. Пунктиром показан новый комплекс Cr+1.
Упрощенная схема модифицированного метода комплексов.
  1. Задаем начальную точку , исходя из которой должен быть построен комплекс , величину , а также коэффициенты ; полагаем счетчик числа итераций .
  2. Строим начальный комплекс :
    • поочередно для по формуле (3) находим координаты вершин комплекса ; комплекса ;
    • если вершина является недопустимой (выходит за границы области ), то по формуле, аналогичной формуле (6), выполняем сжатие уже построенного комплекса с вершинами, вдоль направления , где — центр тяжести уже найденных -ой вершин комплекса (см. рис. 4);
    • если после сжатия комплекса вершина по-прежнему является недопустимой, повторяем описанную процедуру сжатия;
    • вычисляем значения функции во всех вершинах построенного комплекса .
  3. Находим максимальное из значений функции в вершинах комплекса

  4. По формулам (4), (5) отражаем с растяжением вершину комплекса — получаем вершину и новый комплекс :
    • если точка является не допустимой (выходит за границы области ) и , то по формуле (6), выполняем сжатие комплекса вдоль направления , где — центр тяжести комплекса , до тех пор, пока точка не станет допустимой (см. рис. 5). Переходим к п.5;
    • если точка является допустимой (не выходит за границы области ) и , то переходим к шагу 5;
    • если точка является не допустимой, но , то переходим к п. 6.
  5. Проверяем условие окончания поиска (см. ниже). Если условие окончания поиска выполнено, то в качестве точки принимаем вершину комплекса , к которой функция имеет наименьшее значение, вычисляем соответствующие значения и завершаем итерации. Иначе — переходим к п. 3
  6. Если , то полагаем ; если то полагаем (см. рис. 6). Переходим к п.3
Рис. 4.  Построение комплекса C0.
Рис. 5.  Построение комплекса Cr+1.
Рис. 6.  Построение комплекса Cr+1.
На рис. 4 точка оказалась за границей области D. После операции сжатия комплекса вершины комплекса вдоль направления (,()p) получаем вершину . Здесь()p — центр тяжести комплекса.
На рис. 5 полагается, что Ф() > Ф(). Точка оказалась границей области D. После операции сжатия комплекса вершины комплекса вдоль направления (, ) получаем вершину .
На рис. 6 полагается, что Ф() < Ф(). Точка оказалась за границей области D - нарушено ограничение < ). Точка получена проектированием точки на прямую X2 = .
В качестве критерия окончания поиска может использоваться следующее условие: максимальная длина ребра комплекса не превышает — требуемую точность решения по . Может использоваться также следующее аналогичное условие: максимальная разность значений функции в двух вершинах комплекса не превышает — требуемую точность решения по .
Могут использоваться также более сложные условия окончания поиска, учитывающие текущий размер комплекса или в некотором смысле среднее значение функции в его вершинах (см. параграф 8.2).
Изложенная схема метода комплексов приводит к "уплощению" комплекса вблизи границы области допустимых значений , что может значительно уменьшить эффективность метода. этой целью преодоления этого недостатка через фиксированное количество итераций находятся максимальная и минимальная диагонали комплекса и, если их отношение превышает заданное, то по рассмотренной схеме производится построение нового комплекса.