Рассматривается следующая многомерная задача глобальной условной оптимизации: найти минимум критерия оптимальности , определенного во множестве пространства ,

(1)

где множество допустимых значений

(2)

Положим, что множество допустимых значений задается только с помощью ограничений типа неравенств и представляет собой гиперпараллелепипед

(3)

Метод сведения к совокупности вложенных одномерных задач глобальной оптимизации состоит в решении вместо задачи (1), (3) следующей совокупности вложенных одномерных задач условной оптимизации.

(4)

где множества , представляют собой соответствующие сечения множества (см. ниже).

Положим, что и , т.е. . Вложенные одномерные задачи глобальной оптимизации (4) в этом случае можно представить в виде (см. рис. 1)

(5)

(6)

где — сечение области прямой, параллельной оси . Задача (5) представляет собой одномерную задачу глобальной оптимизации критерия оптимальности по параметру , для вычисления значения которого при данном фиксированном необходимо решить одномерную задачу глобальной оптимизации критерия оптимальности по параметру

Рис. 1.  К прим. 1. При решении задачи (5) вычисление значения критерия оптимальности Ф(Х) при некотором x = x₁ требует решения задачи минимизации (6) на множестве D(x₁).

Положим, что для решения всех вложенных одномерных задач глобальной оптимизации (4) используется метод случайного поиска. Обозначим число испытаний, необходимых для отыскания методом перебора с заданной точностью глобального минимума функции по параметру (когда параметры фиксированы). Тогда общее количество испытаний для решения задачи , равно, очевидно,

Поэтому при такой алгоритм становится неэффективным. При надежность алгоритма достаточно высока, а затраты на поиск значительно меньше затрат на полный перебор на той же сетке.

1. Задаем величины – количества испытаний при решении задач (5), (6), соответственно. Полагаем .
2. Генерируем с помощью какого-либо программного генератора случайных чисел, равномерно распределенных в интервале , случайное число .
3. Методом случайного поиска решаем задачу (6) при – находим точку и вычисляем значение критерия оптимальности .
4. Аналогично п.2 генерируем случайное число .
5. Методом случайного поиска решаем задачу (6) при – находим точку и вычисляем значение критерия оптимальности .
6. Если , то выполняем присваивания .
7. Если , то выполняем присваивание и переходим на п.4. Иначе принимаем точку в качестве приближенного значения точки глобального минимума функции в области или каким-либо из рассмотренных ранее методов организуем в окрестности указной точки поиск локального минимума функции и заканчиваем вычисления

Комбинацию рассматриваемого метода с методом случайного поиска для двумерной задачи иллюстрирует рис. 2, на котором показан фрагмент линий уровня функции Химмельблау. Принято, что X^* — точка минимума функции Ф(X) в области D после (r — 1)-ой итерации. Точки на прямой x₁ = x^r₁ случайным образом сгенерированы на r-ой итерации. После завершения r-ой итерации, очевидно, X^* = x^r₁, x^r₁.

Рис. 2.  Итерация номер r комбинации метода сведения с методом случайного поиска для двумерной задачи.

x = -6 : 0.05 : 6;
y = x;
[X, Y] = meshgrid(x);
Z = (X.^2 + Y - 11).^2 + (X + Y.^2 - 7).^2;
V = [1, 4, 8, 16, 32, 64, 100, 150, 200, 250];
[C, h] = contour(X, Y, Z, V);
clabel(C, h);