Постановка задачи многокритериальной оптимизации.
Прежде, чем применить тот или иной метод решения задачи (1), обычно производят нормализацию частных критериев, приводя все
частные критерии оптимальности 
к одному масштабу. Чаще всего при этом используют относительные отклонения
частных критериев от их минимальных значений:
где
Множество Парето.
Рис. 1. К отображению векторным критерием оптимальности Φ(X) множества допустимых значений DX пространства варьируемых параметров {X} в область DΦ пространства критериев {Φ}. Случай n=2, s=2.
Отношение предпочтения 
. Будем говорить, что вектор

предпочтительнее вектора

, и писать

, если среди равенств и неравенств
имеется хотя бы одно строгое неравенство (см. рис. 2).
Примечание 1
Рис. 2. К понятию отношения предпочтения и отношения доминирования (s = 2). Для всех точек заштрихованной области Ф(X1) ⊳ Ф(X2), т.е. заштрихованной области пространства критериев соответствуют векторы варьируемых параметров X ∈ DФ, для которых X1 ⊱ X2.
Выделим из множества

подмножество

точек, для которых нет точек, их доминирующих. Множество

, соответствующее

, называется
множеством Парето (
переговорным множеством,
областью компромисса) — см. рис. 3. Поскольку множество D
Ф на рисунке является выпуклым, то множество D

- есть часть границы множества D
Ф — дуга AB, в которой точка A соответствует (ф
2)
min, а точка B — (ф
1)
min. Среди точек

(X
1)

D
*Ф,

(X
2)

D
*Ф нет более предпочтительных, поскольку ф
1(X
1) > ф
1(X
2), но ф
2(X
1) > ф
2(X
2).
Таким образом, если

, то

Другими словами
множество Парето можно определить как множество, в котором значение любого из
частных критериев оптимальности можно улучшить только за счет ухудшения других частных критериев – любое из решений, принадлежащее множеству Парето, не может быть улучшено одновременно по всем частным критериям.
Рис. 3. К определению множества Парето (s = 2).
Пример 1
Теорема 1. Если для некоторых весовых множителей

и вектора

имеет место равенство
 | (2) |
то вектор

оптимален по Парето, т.е.

.
Доказательство. Пусть вектор

не оптимален по Парето. Тогда существует такой вектор

, что
 | (3) |
причем хотя бы одно из неравенств строгое. Умножая каждое из неравенств (3) на

и складывая, получим
что противоречит условию теоремы

Теорема 1 доказана для случая неотрицательных весовых коэффициентов

, хотя не содержит этого условия. Однако доказательство возможно и для произвольных весовых коэффициентов.
Заметим, что теорема 1 задает лишь необходимое условие оптимальности по Парето вектора

. Т.е. из того факта, что точка

принадлежит
множеству Парето, не следует, что эта точка обязательно удовлетворяет условию (2).