Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации
 (1)

где векторный критерий оптимальности, частные критерии оптимальности (скалярные), .- множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.
Для решения задачи многокритериальной оптимизации (1) широко используются методы, основанные на сведении задачи многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации. Рассмотрим один из методов этой группы методов — метод весовых множителей.
В метод весовых множителей дополнительной информацией (относительно информации, заданной в постановке задачи (1)) является информация об относительной важности частных критериев. Метод требует, чтобы эта информация была формализована в значениях весовых множители . В этом случае в качестве скалярного критерия используется критерий
 (2)

Т.е. вместо задачи (1) решается многомерная задача условной оптимизации со скалярным критерием оптимальности (2)
 (3)

Напомним следующее: из теоремы 1 (см. параграф 1 данной главы) вытекает, что вектор , являющийся решением задачи условной оптимизации (3), принадлежит множеству Парето задачи (1), а обратное утверждение неверно — вектор , принадлежащий множеству Парето задачи (1), не обязательно удовлетворяет условию (3).
Существуют различные способы выбора весовых множители . Одним из таких способов является назначение коэффициентов в зависимости от относительной важности соответствующих частных критериев оптимальности, например, согласно табл. 1.
Таблица 1    
Относительная важность критерияОпределение относительной важности критериев
1Равная важность
3Умеренное (слабое) превосходство
5Сильное (существенное) превосходство
7Очевидное превосходство
9Абсолютное (подавляющее) превосходство
2,4,6,8Промежуточные решения между двумя соседними оценками

Шкала относительной важности частных критериев.

Для того чтобы при выборе весовых множителей избавиться от влияния масштабов частных критериев оптимальности, в методе весовых множителей целесообразно использовать нормализованные критерии.
Дадим геометрическую интерпретацию метода. Введем в рассмотрение вектор . Тогда критерий оптимальности (2) можно записать в виде скалярного произведения
 (4)

а задачу (3) в виде
 (5)

Уравнение , где — некоторая константа, определяет в пространстве критериев гиперплоскость. При этом решение задачи (5) можно интерпретировать как поиск такого значения , при котором гиперплоскость будет касательной к множеству задачи (1). Компоненты вектора определяют искомую точку касания этой гиперплоскости с множеством (см. рис. 1). На рис. 1 для любой точки множества (дуга A,B) найдется вектор весовых множителей = (λ1, λ2, ... , λs), при котором эта точка удовлетворяет условию (5).
Рис. 1.  Геометрическая интерпретация метода весовых множителей: случай двух критериев; множество DФ выпукло.
Множество задачи (1) может быть не выпуклым. В этом случае не все точки множества могут быть достигнуты с помощью изменения весовых множителей (см. рис. 2). На рис. 2 ни для одной точки множества , принадлежащей дуге A1B1, невозможно найти вектор весовых множителей = (λ1, λ2, ... , λs), при котором эта точка удовлетворяет условию (5).
Рис. 2.  Геометрическая интерпретация метода весовых множителей: случай двух критериев; множество DФ не выпукло.