Для простоты записи положим, что и рассмотрим стационарную динамическую систему
 (1)

Требуется найти управление , которое переводит эту систему из состояния в состояние и минимизирует критерий оптимальности управления - функционал
 (2)

Введем в рассмотрение константу и вспомогательную вектор-функцию , являющуюся решением системы ОДУ
или в векторной форме
где
 (3)

гамильтониан динамической системы (1). Более удобна другая форма системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для вспомогательной вектор-функции :
 (4)

где - -матрица частных производных вектор-функции по :
Система ОДУ (4) называется сопряженной системой.
Теорема 1 (принцип максимума Л.С. Понтрягина). Пусть – допустимое управление, переводящее систему (1) из точки в точку , а – соответствующая фазовая траектория. Для оптимальности (в смысле минимума функционала (2)) процесса необходимо существование такой константы и такого решения системы ОДУ (5), что вектор- функция не тривиальна и для любого момента времени выполняется условие максимума
 (5)

где гамильтониан системы определяется выражением (4)
Не тривиальность вектор-функции означает, что среди величин имеется хотя бы одна тождественно не равная нулю.
Отметим, что начальные условия для системы ОДУ (5) не заданы, т.е. можно получить только общее решение этой системы.
Примечание 1
Поскольку принцип максимума определяет лишь необходимое условие оптимальности, из того факта, что некоторая траектория удовлетворяет ему, не следует, что она оптимальна. Т.е. принцип максимума дает траектории лишь "подозрительные" на оптимальность. Для определения из их числа оптимальной траектории необходима дополнительная проверка.
Вслед за Федоренко Р.П. назовем систему уравнений (1), (2), (3), (4), (5) П-системой.
Рассмотрим теперь принцип максимума Л.С. Понтрягина для задачи оптимального быстродействия. Напомним, что в этом случае критерия оптимальности управления имеет вид (см. параграф 12.1)
 (6)

Легко видеть, что гамильтониан системы (1) в этом случае равен
 (7)

Теорема 2 (принцип максимума Л.С. Понтрягина для задачи оптимального быстродействия). Пусть – допустимое управление, переводящее систему (1) из точки в точку , а – соответствующая фазовая траектория. Для оптимальности (в смысле минимума функционала (6)) процесса необходимо существование такого решения системы ОДУ (3), что вектор-функция не тривиальна и для любого момента времени и выполняется условие максимума
 (8)

где гамильтониан системы определяется выражением (7)
Известно множество обобщений принципа максимума Л.С. Понтрягина. Рассмотрим некоторые из них.
  1. Задача с подвижными концами. Здесь векторы не фиксированы, а заданы лишь некоторые гладкие многообразия (гладкие поверхности, расположенные в пространстве , размерность которых меньше ) такие, что .
  2. Дополнительные ограничения на вектор управления. Кроме требования минимизации критерия оптимальности заданы ограничения вида

    где – некоторые функционалы над .
  3. Обобщение для нестационарных динамических систем.
  4. Обобщение для динамических систем с параметрами:

    где Т – неизвестный вектор параметров (констант). Требуется выбрать такой вектор и такое управление , чтобы перевести систему из состояния в состояние и минимизировать функционал .
Пример 1
Рассмотрим материальную точку массой , которая свободно без трения движется по горизонтальной прямой. Пусть эта точка снабжена двигателем, развивающим силу тяги такую, что .
Введем обозначения
Таким образом, для рассматриваемой динамической системы размерность вектора фазовых переменных равна и этот вектор можно записать в виде .
Аналогично примеру 12.1.1 имеем следующее формальное описание системы (см. рис. 1):
 (9)

Рис. 1.  К прим. 1.
Поставим задачу оптимального быстродействия – задачу о быстрейшем попадании рассматриваемой точки в начало координат из заданного начального состояния . Другими словами, поставим задачу перевода за кратчайшее время материальной точки, имеющей начальное положение и начальную скорость , в начало координат с нулевой скоростью (чтобы точка перешла в начало координат и остановилась там).
Гамильтониан (7) системы (9) для задачи оптимального быстродействия имеет вид
а система ОДУ для вспомогательной вектор-функции — вид
 (10)

Легко получить явное общее решение системы ОДУ (10)
где — произвольные постоянные.
Уравнение (8) имеет в данном случае вид
 (11)

Из (11) следует, что оптимальное управление должно удовлетворять условию
т.е.
Таким образом, оптимальное управление , является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения и имеющей не более двух интервалов постоянства (т.к. линейная функция не более одного раза меняет знак на отрезке ).
Приведем графическую иллюстрацию полученных результатов.
На отрезке времени, на котором , из (9) последовательно имеем
Таким образом, фазовые траектории, для которых , представляют собой семейство парабол, соответствующих разным значениям константы (см. рис. 2а). По этим параболам фазовые точки движутся снизу вверх (поскольку ).
Аналогично, управлению соответствует семейство парабол , по которым фазовые точки движутся сверху вниз (т.к. ) — см. рис. 2б.
Рис. 2.  Фазовые траектории системы (9): а – при u*(t)≡1; б – при u*(t)≡-1.
Так как оптимальное управление является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения и имеющей не более двух интервалов постоянства, возможны только варианты оптимальных фазовых траекторий системы, представленные на рис. 3.
Рис. 3.  Варианты фазовых траекторий системы (9).
Т.е. оптимальные фазовые траектории состоят из двух кусков парабол, примыкающих друг к другу. Причем второй из этих кусков лежит на той из парабол, которая проходит через начало координат.
Для произвольных начальных условий имеем следующую картину, представленную на рис. 4.
Рис. 4.  Вид оптимальных фазовых траекторий системы (9).
На рис. 4 дуга имеет уравнение , а дуга – уравнение .
Итак, согласно принципу максимума Л.С. Понтрягина оптимальные (по быстродействию) фазовые траектории системы (9) могут быть только вида, приведенного на рис. 4.