Рассмотрим задачу оптимального управления
 (1)

 (2)

Напомним, что выражения (1), (2) совместно с выражением для соответствующего гамильтониана
 (3)

сопряженной системой ОДУ для вспомогательной вектор-функции
 (4)

и условием максимума
 (5)

образуют П-систему задачи оптимального управления (1), (2).
Наиболее точные и аккуратные методы численного решения задач оптимального управления связаны с решением соответствующих П-систем.
Положим, что уравнение (5) можно разрешить относительно , т.е. найти функцию . Тогда формально П-система (1), (2), (3), (4) (5) формально сводится к системе уравнений
 (6)

 (7)

Введем в рассмотрение П-процедуру:
  1. Задаем некоторые начальные условия для функции .
  2. С заданными начальными условиями решаем задачу Коши для сопряженной системы ОДУ (7) – находим функцию .
  3. С найденной функцией решаем задачи (6) – отыскиваем оптимальную фазовую траекторию системы , соответствующую начальным условиям .
  4. Находим разность (которая, очевидно, в общем случае не будет равна 0)
П-процедура устанавливает функциональную зависимость разности от вектора . Обозначим эту функциональную зависимость :
 (8)

 (9)

Теперь, формально, решение П-системы сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений (9): найти вектор , при котором или, что то же самое, при котором .
Чаще всего для решения СНАУ (9) используют метод касательных (метод Ньютона). Напомним схему этого метода для одномерного случая (см. параграф 4.8).
Пусть . Система (9) при этом имеет вид (см. рис. 1)
 (10)

где — соответствующие скалярные константы, а — скалярные функции.
Рис. 1.  К схеме метода касательных (метода Ньютона). Одномерный случай (n = 1).
Линейная функция, аппроксимирующая функцию в точке , записывается в виде
Приравняв правую часть этого выражения к нулю, получим итерационную формулу метода касательных
 (11)

В многомерном случае итерационная формула (11) имеет вид
 (12)

где — матрица, обратная матрице ,
 (13)

Схема метода приближенного решения задачи оптимального управления, использующего П-систему
  1. Полагаем счетчик числа итераций .
  2. Из каких либо соображений задаем вектор — начальное значение вектора .
  3. Выполняем П-процедуру для вектора — вычисляем значение функции в точке :

  4. Если условие окончание итераций не выполнено (см. ниже), то по формуле (12) вычисляем следующее приближение к , полагаем и переходим к п.3. Иначе переходим к следующему пункту.
  5. В качестве приближения к оптимальному управлению принимаем

    где — решение системы (7) с начальными условиями
В качестве условия окончания итераций естественно использовать условие
где — некоторая векторная норма, например, евклидова; — требуемая точность выполнения условия .
Рассмотрим в заключение основные трудности, возникающие при решении задачи оптимального управления данным методом:
  1. Поскольку функция задана неявно, для вычисления - матрицы ) приходится использовать численное дифференцирование. Для этого на каждой итерации, как минимум, приходится раз решать задачи Коши (6), (7).
  2. Метод Ньютона сходится лишь в достаточно малой окрестности решения. Поэтому на практике приходится использовать различные модификации метода Ньютона, обеспечивающие ускорение сходимости.
  3. Решение уравнения (10) может быть не единственно.
  4. Содержательные соображения для выбора вектора практически отсутствуют. Иногда для выбора этого вектора используют приближенное решение задачи оптимального управления (1), (2) каким-либо другим методом, дающим грубое приближение к .