Метод вариаций в фазовом пространстве разработан под руководством Н.Н. Моисеева в ВЦ АН СССР. Имеется несколько вариантов метода. Наиболее развитым является метод локальных вариаций Ф.Л. Черноусько.
Рассмотрим задачу оптимального управления
 (1)

 (2)

Обратим внимание на то, что в постановке задачи присутствуют кроме ограничений на вектор управления также ограничения на вектор фазовых координат.
Пусть — некоторая траектория динамической системы (1), удовлетворяющая краевым условиям и фазовым ограничениям . Покроем интервал времени сеткой с узлами и рассмотрим последовательность точек , которую также будем называть траекторий системы (1).
Элементарной операцией называется решение задачи (1), (2) для интервала , т.е. решение следующей задачи
 (3)

 (4)

Обозначим "цену" элементарной операции . Т.е. — это значение критерия качества управления при оптимальном (в смысле минимума функционала (4)) переводе системы (1) из состояния в состояние .
Заметим, что в связи с малостью интервала решать задачу оптимального управления (3), (4) не обязательно очень точно. Это обстоятельство позволяет во многих случаях достаточно просто получить цену элементарной операции .
Во введенных обозначениях функционал (2) на траектории равен
 (5)

Локальной вариацией траектории (в фазовом пространстве) называется траектория, отличающаяся от данной траектории только значением в точке . Обычно рассматриваются локальные вариации, в которых точка смещается только вдоль координатных направлений (см.рис. 1): . Здесь -я компонента вектора , -й орт в -мерном пространстве, — шаг по -ой компоненте фазового вектора.

Рис. 1.  К определению локальной вариации в фазовом пространстве.
Отметим, что локальная вариация траектории в точке приводит к изменению в сумме (5) только двух слагаемых — и .
Схема метода локальных вариаций.
  1. Из каких либо соображений задаем начальное приближение к оптимальной траектории , удовлетворяющее краевым условиям и фазовым ограничениям . Покрываем интервал сеткой с узлами . Счетчику числа итераций присваиваем значение .
  2. Последовательно для на интервале выполняем элементарную операцию и определяем ее "цену" .
  3. Для каждого последовательно для каждого выполняем следующие действия:
      • 3.1) выполняем локальную вариацию ;
      • 3.2) если полученная в результате новая точка является допустимой (т.е. ), то переходим к следующему пункту. Иначе переходим к п.3.4;
      • 3.3) на интервалах , выполняем элементарные операции и определяем их "цены" , . Если данная локальная вариация была успешной — привела к уменьшению критерия качества управления (5)

        то полагаем

        и переходим к следующему пункту;
      • 3.4) выполняем локальную вариацию ;
      • 3.5) если полученная в результате новая точка является допустимой (т.е. ), то переходим к следующему пункту. Иначе, полагаем переходим к п.3.1.
      • 3.6) выполняем действия, указанные в п.3.3.
  4. Проверяем выполнение условия окончания итераций (см. ниже). Если это условие выполнено, то в качестве приближения к оптимальной траектории принимаем текущую траекторию , а в качестве приближения к оптимальному управлению — управления, найденные при выполнении элементарных операций, соответствующих траектории . Иначе полагаем и переходим к п.2
В качестве условия окончания итераций используется равенство нулю количества удачных локальных вариаций после данной итерации.
Действия, указанные в пункте 3 приведенной схемы метода локальных вариаций, будем называть основным циклом метода локальных вариаций. Легко видеть, что временная сложность основного цикла равна .
В изложенном виде метод локальных вариаций обладает рядом серьезных недостатков. Назовем основные из этих недостатков:
Указанные недостатки приводят к тому, что в изложенном виде метод локальных вариаций используется редко. В вычислительной практике используются различные модификации метода локальных вариаций — метод дробных шагов, метод бегущей волны, метод трубки и др.