Решение задачи оптимального управления методом вариаций в пространстве управлений

Метод разработан в ИПМ АН СССР Федоренко Р.П.

Рассмотрим задачу оптимального управления

(1)

(2)

Обратим внимание на то, что данная постановка задачи оптимального управления не содержит граничного условия

и ограничений на вектор фазовых координат

. Заметим также, что поскольку вектор фазовых координат

при фиксированных начальных условиях

определятся только управлением

, в число аргументов критерия качества управления

можно не включать вектор

Положим, что известно некоторое управление

, которое мы будем называть невозмущенным управлением.

В рассматриваемом методе существенно используется производная функционала

. Если для любых достаточно малых возмущений

невозмущенного управления

справедливо соотношение

то

называется функциональной производной в смысле Фреше функционала

на невозмущенной траектории

и обозначается

(3)

Здесь

—

-вектор-столбец,

—

-вектор-строка (транспонированный вектор

— некоторая векторная норма.

Техника дифференцирования функционалов, определенных на траекториях динамической системы, достаточно сложна и ее рассмотрение выходит за рамки данного курса. Будем полагать, однако, что мы умеем вычислять функциональные производные (3).

Заметим, что метод вариаций в пространстве управлений применим и к функционалам, отличным от функционала (2), например, к функционалу вида

По существу, при этом изменяется лишь техника вычисления функциональных производных.

В методе вариаций в пространстве управлений на каждой итерации вариация

управления

определяется путем минимизации линейной части приращения функционала

, вызванного этой вариаций:

(4)

Здесь

— некоторая малая окрестность невозмущенного управления

Окрестность

имеет важное технологическое значение – удачное построение этой окрестности может значительно повысить вычислительную эффективность метода. Однако задача построения этой окрестности однозначного решения не имеет.

При построении множества

следует учитывать следующие требования:

Из того факта, что , должно следовать, что ;
Множество должно быть достаточно малой окрестностью траектории , чтобы линейная часть приращения функционала достаточно точно описывала это приращение;
Множество должно быть достаточно большой окрестностью траектории , чтобы сходимость управления к оптимальному управлению не была слишком медленной;
Множество должно быть полной окрестностью невозмущенного управления . Окрестность траектории называется полной, если для любой допустимой вариации управления (т.е. такой вариации, что ) существует такое число , что для всех и для всех . Понятие полной окрестности формализует требование полноты допустимых вариаций – окрестность должна содержать вариации невозмущенного управления во всех допустимых направлениях.

Общая схема метода вариаций в пространстве управлений.

Из каких либо соображений задаем начальное приближение к оптимальному управлению и полагаем счетчик числа итераций равным .
С управлением решаем задачу Коши для системы ОДУ (1) – получаем фазовую траекторию .
Вычисляем — значение критерия качества управления (2) на невозмущенной траектории .
В окрестности невозмущенной траектории выполняем линеаризацию задачи – вычисляем функциональную производную

и определяем окрестность невозмущенной траектории.
Из условия
(5)

находим приращение управления .
Полагаем .
Если условие окончания итераций выполнено (см. ниже), то в качестве приближения к оптимальному управлению принимаем управление и заканчиваем вычисления. Иначе – полагаем и переходим к п.2