Пусть дана двумерная задача нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств
 (1)

где ,
 (2)

1. Дайте определение задачи нелинейного программирования (1), (2).
2. Изобразите на рисунке область допустимых значений вектора варьируемых параметров, формируемую ограничениями (2).
3. Найдите аналитически решение этой задачи без использования теоремы Куна-Таккера и изобразите его на рисунке.
 Ответ 
1. Задача (1), (2) является задачей выпуклого программирования: множество есть выпуклый многогранник, а функция () - квадратичная.
2. Область допустимых значений вектора варьируемых параметров, формируемая ограничениями (2), имеет вид, представленный на рис. 1.
Рис. 1.  
3. Аналитическое решение задачи нелинейного программирования (1), (2) без использования теоремы Куна-Таккера состоит из следующих шагов.
  1. Определяем стационарные точки функции в области .

    Обозначим найденную стационарную точку функции . Легко видеть (см. рис. 1), что точка не принадлежит множеству и должна быть исключена из дальнейшего рассмотрения.
  2. Определяем критические точки функции в области .

  3. Для каждой из границ области решаем соответствующую задачу на условный минимум:
    • Граница . Решаем задачу

      Из условия имеем . Подставив это значение в выражение для , получим . Минимум этой функции достигается в точке с координатами :
    • Граница . Решаем задачу

      Аналогично предыдущему имеем точку с координатами .
    • Граница . Решаем задачу

      Из условия ()=0 имеем . Подставив это значение в выражение для функции , получим . Минимум этой функции достигается в точке с координатами :

  4. Пересечением границ области являются точки
  5. Значения функции в отобранных точках приведены в табл. 1.
Таблица 1    
Точка
Координаты(0,0)(0,5)(2.5,2.5)(5,0)(0,4)(4,0)
Значение ()32174.5171616

Из табл. 1 следует, что искомое минимальное значение достигается в точке и равно .