Пусть дана двумерная задача нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств
 (1)

где ,
 (2)

1. Изобразите на рисунке область допустимых значений вектора варьируемых параметров, формируемую ограничениями (2).
2. Найдите аналитически решение этой задачи с использованием теоремы Куна-Таккера и изобразите его на рисунке.
 Ответ 
1. Область допустимых значений вектора варьируемых параметров, формируемая ограничениями (2), имеет вид, представленный на рис. 1.
Рис. 1.  
2. Аналитическое решение задачи нелинейного программирования (1),(2) с использованием теоремы Куна-Таккера состоит из следующих шагов.
  1. Записываем функцию Лагранжа

  2. Находим градиенты функций (), (),[1,3]:

  3. Записываем необходимое условие минимума функции Лагранжа:
     (3)

    • а). Положим, что ни одно из ограничений не является активным ограничением (точка лежит внутри области ). В этом случае можно положить (напомним, что теорема Куна-Таккера не запрещает этого). Тогда из (3) имеем стационарную точку функции с координатами . Точка лежит вне области и из рассмотрения исключается.
    • б). Пусть активным является ограничение т.е. пусть . Тогда можно положить . При этом из (9) следует . Таким образом, имеем стационарную точку функции с координатами .
    • в). Пусть активным является ограничение , т.е. пусть . Тогда можно положить . При этом из (3) следует . Таким образом, имеем стационарную точку функции с координатами .
    • г). Пусть активным является ограничение ()0, т.е. пусть . Тогда можно положить ==0. При этом из (3) следует система
       (4)




    • д) Пусть активными являются ограничения ()0, ()0, т.е. пусть , . Тогда можно положить =0. При этом из (3) следует =8, =8. Таким образом, имеем стационарную точку функции с координатами .
    • е) Аналогично получаем стационарную точку с координатами .
    • ж) Аналогично получаем стационарную точку с координатами .
        • Легко видеть, что точки, в которых нарушаются условия регулярности ограничивающих функций, отсутствуют.
        • Значения функции () в отобранных точках приведены в табл. 1.
        Таблица 1    
        Точка
        Координаты(0,0)(0,5)(2.5,2.5)(5,0)(0,4)(4,0)
        Значение ()32174.5171616

        Из табл. 1 следует, что искомое минимальное значение достигается в точке и равно 4.5.