задача многокритериальной оптимизации
Задача, в которой необходимо обеспечить оптимальность объекта проектирования одновременно по нескольким критериям оптимальности, называется задачей многокритериальной оптимизации. Принципиальным является то обстоятельство, что обычно эти критерии противоречивы и оптимизация по каждому из них приводит к различным значениям вектора варьируемых параметров.
частный критерий оптимальности
частный критерий
В задаче многокритериальной оптимизации необходимо обеспечить оптимальность объекта проектирования одновременно по нескольким скалярным критериям оптимальности. Эти критерии называются частными критериями оптимальности.
векторный критерий оптимальности
векторный критерий
В задаче многокритериальной оптимизации совокупность частных критериев оптимальности называется векторным критерием оптимальности. Компонентами векторного критерия являются все частные критерии.
пространство критериев
В задаче многокритериальной оптимизации пространство критериев {Ф} имеет размерность s, равную размерности векторного критерия оптимальности (другими словами - числу частных критериев в векторном критерии). Осями координат пространства критериев являются s ортогональных осей, каждая из которых соответствует одному из частных критериев оптимальности. Векторный критерий оптимальности отображает множество допустимых значений вектора варьируемых параметров Dx, принадлежащее пространству варьируемых параметров {X}, во множество Dф, принадлежащее пространству критериев {Ф}.
пространство варьируемых параметров
В задаче многокритериальной оптимизации пространством варьируемых параметров называется пространство, которому принадлежит множество допустимых значений вектора варьируемых параметров. Если этот вектор имеет размерность n, то обычно пространством варьируемых параметров является n-мерное арифметическое пространство.
отношение предпочтения
Пусть фk(X), k∈[1,s] - частные критерии оптимальности в задаче многокритериальной оптимизации. Положим, что множеством допустимых значений вектора варьируемых параметров является множество Dx. Тогда говорят, что вектор X1∈Dx предпочтительнее вектора X2∈Dx и пишут X1⊱X2, если среди равенств и неравенств фk(X1)≤фk(X2), k∈[1,s] имеется хотя бы одно строгое.
отношение доминирования
Если в задаче многокритериальной оптимизации вектор X1∈Dx предпочтительнее вектора X2∈Dx (см. определение отношения предпочтения), то говорят, что векторный критерий оптимальности Ф(X1) доминирует такой же критерий Ф(X2) и пишут Ф(X1)⊳Ф(X2). Другими словами, Ф(X1)⊳Ф(X2), если X1⊱X2.
множество Парето
переговорное множество
область компромисса
Множеств Парето можно определить как множество, в котором значение любого из частных критериев оптимальности можно улучшить только за счет ухудшения других частных критериев – любое из решений, принадлежащее множеству Парето, не может быть улучшено одновременно по всем частным критериям. Более строго. Выделим во множестве Dф (см. определение пространства критериев) подмножество точек, для которых нет точек, их доминирующих (см. определение отношения доминирования). Тогда область множества допустимых значений вектора варьируемых параметров Dx, соответствующая этому подмножеству, называется множеством Парето.