Конечно-разностные аппроксимации производных (конечные разности) - способ приближенного вычисления частных производных
Выражения для конечных разностей можно получить из разложения функции в ряд Тейлора:

Или более коротко с использованием индексов точек:
 (1)

Отсюда , где — остаток.
Отбрасывая остаток можно получить правую разность:

Погрешность такой аппроксимации определяется старшим членом в отброшенном остатке и в данном случае этот член содержит в первой степени.
Аналогичным образом, разлагая в ряд функцию можно получить:
 (2)

Получим новую аппроксимацию первой производной:

которая называется левой разностью. У нее погрешность также определяется членом, содержащим в первой степени. Однако, если из выражения (1) вычесть (2), то можно получить более точную аппроксимацию первой производной, которая называется центральной разностью:

В этом случае член, определяющий погрешность аппроксимации, будет содержать во второй степени.
Аппроксимацию второй производной можно получить исходя из ее определения, — отношение приращения функции к приращению аргумента, где в качестве функции выступает аппроксимация первой производной. Также ее можно получить из выражений (1) и (2), если из (1) вычесть (2), отбросить члены содержащие производные старше второй, то получим:

Отброшенный остаток будет содержать член с во второй степени (после деления на )
Исходя из определения, можно получить выражения для третьей, четвертой и более старших разностей:


Для функции двух переменных выражения для конечных разностей, в предположении что первый индекс относится к координате , а второй — , будут выглядеть следующим образом:
Смешанная производная может быть получена следующим образом: