При изложении метода взвешенных невязок было показано, как можно решить дифференциальноне уравнение с использованием аппроксимирующей функции, тождественно удовлетворяющей граничным условиям. Если будем считать, что аппроксимация

заведомо не удовлетворяет краевым условиям задачи, то к невязке по области

добавится невязка в краевых условиях

где — дифференциальный оператор в граничных условиях второго и третьего рода.
Таким образом можно попытаться уменьшить сумму невязок по области и границе, полагая
 (1)

где и , вообще говоря могут быть выбраны независимо.
Раскрытие интегралов приведет к системе уравнений

где коэффициенты матрицы и вектора свободных членов могут быть найдены следующим образом:


Вычисление таких интегралов может оказаться весьма затруднительным, особенно когда на границе задана производная. Таких вычислений можно избежать, если использовать следующий прием. Первое слагаемое в уравнении (1), как правило можно преобразовать
 (2)

где , и — операторы более низкого порядка, чем .
Если выполнить такую подстановку в (1), то можно подобрать такую функцию , что интегралы по границе, содержащие производные взаимно уничтожатся. Граничные условия, для которых это возможно называются естественными граничными условиями.
Пример 1
Задан теплоизолированный с боковой поверхности стержень длиной , на левом торце задана температура , на правом — градиент температуры . Уравнение теплопроводности для изотропной среды:
Формируем уравнение типа (1):

раскрываем первый интеграл по частям:

Теперь, если выберем такую, что и , то члены, содержащие производные на границе уничтожатся и уравнение примет вид