Метод конечных элементов — универсальный метод решения систем дифференциальных уравнений в частных производных.
Решение задач микроуровня методом взвешенных невязок в инженерной практике крайне затруднительно из-за необходимости вычислять сложные двойные (для плоских задач) и тройные интегралы (для объемных задач) для объектов с криволинейными границами. При этом возникает противоречие между точностью решения, для обеспечения которой необходимо увеличивать степень аппроксимирующего полинома и сложностью вычисления интегралов. Для разрешения этого противоречия было предложено разбить исследуемую область на конечные элементы простой формы, такие, чтобы вычисление интегралов по ним не представляло больших сложностей, а необходимой точности достигать увеличением числа конечных элементов. То есть в рамках метода взвешенных невязок необходимо перейти от интеграла по всей области к сумме интегралов по подобластям:


Математическое обоснование такого перехода может быть выполнено с использованием глобальных базисных функций.
При этом определенный интеграл после раскрытия (или взятия каким либо численным методом) приводит к математической модели конечного элемента в форме:
где Kл - локальная матрица жесткости, Vл - вектор фазовых переменных, Qл - локальный вектор нагрузок.
После ансамблирования получаем математическую модель системы в виде :
где K - матрица жесткости (глобальная) , V - вектор фазовых переменных, Q - вектор нагрузок (глобальный).
Ансамблирование - это процедура вычисления суммы
После решения системы уравнений получаем значения фазовых переменных в узлах сетки.