Метод взвешенных невязок — универсальный метод нахождения коэффициентов в аппроксимациях. Применительно к решению систем дифференциальных уравнений в частных производных этот метод можно продемонстрировать следующим образом.
Пусть есть некоторый дифференциальный оператор , описывающий поведение некоторой сплошной среды и заданы граничные условия первого рода . Идея метода взвешенных невязок основана на подборе решения. Но подбор решения ведется не произвольным образом, а целенаправлено. Попытаемся найти решение в виде
 (1)

при этом функция на границе точно удовлетворяет граничным условиям, а функции , которые называются пробными функциями, на границе принимают нулевое значение, т.е. .
При подстановке в (1) получим невязку

Потребуем, чтобы невязка приближенно в любой точке , например так

но в этом случае при после раскрытия интеграла придем к незамкнутой системе уравнений относительно . Поскольку мы хотим, чтобы , то домножение невязки на некоторую фунцию не должно изменить значения интеграла, то есть

где - функции, которые называются весовыми.
От выбора весовых функций зависит к какому конкретно варианту метода взвешенных невязок мы придем. Наиболее употребимыми являются метод поточечной коллокации, метод коллокаций по подобластям и метод Галеркина, в котором в качестве весовых функций используются сами пробные функции. При придем к замкнутой системе уравнений относительно коэфиициентов :

где


Вычислив элементы матрицы и вектора свободных членов, затем решив полученную систему уравнений, определим неизвестные коэффициенты в (1), найдя таким образом приближенное решение поставленной задачи.
Пример 1
Необходимо найти распределение температуры в стержне длиной , теплоизолированном со всех сторон, кроме торцев. На левом краю стержня задана температура , на правом (граничные условия первого рода). Одномерное уравнение теплопроводности выглядит следующим образом:

Функция удовлетворяющая граничным условиям может быть, например, такой:

В качестве пробных функций можно предложить следующие:

и на правой и на левой границе они будут обращаться в нуль. Ограничимся количеством пробных функций равным 2.
Таким образом будем искать решение в виде

Для решения нашей задачи воспользуемся методом Галеркина, т.е.

Находим коэффициенты:




Находим элементы вектора свободных членов


Получаем замкнутую систему уравнений

решив которую, получим , , то есть решение нашей задачи будет таким:

что в данном случае будет точным решением.