Предположим необходимо определить изменение распределения температуры в стержне во времени (изменение температурного поля), теплоизолированном с цилиндрической стороны,с заданной температурой на боковых гранях (граничные условия) и заданной температурой стержня в нулевой момент времени (начальные условия).
Решим задачу с помощью явной разностной схемы.
Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности для изотропной среды выглядит следующим образом:
 (1)

Пусть , выберем значения шага по оси и значение шага по оси времени .
Наносим на объект равномерную сетку по оси , как это показано на рис. 1.
Рис. 1.  
Записываем явную разностную схему для узла 1:

где — граничное условие, — начальные условия, отсюда .
Записываем явную разностную схему для узла 2:

где — граничное условие, — начальные условия, отсюда .
Таким образом найдено температурное поле в момент времени .
Аналогично для момента времени :


Для момента времени :


Получили картину прогревания стержня в течение трех единиц времени, представленную на рис. 2.
Рис. 2.  
Результат явно не соответствует физическим процессам, произошло это из-за того, что явная разностная схема является неустойчивой. Неустойчивость выражается в том, что существует некоторое значение шага по времени, при превышении которого погрешность вычислений резко возрастает. Исследование устойчивости выходит за рамки этого изложения, но согласно литературе для данной задачи должно выполняться следующее соотношение:

Как нетрудно проверить, условие не было выполнено. Чтобы удостовериться в работоспособности явной разностной схемы, повторим вычисления для :
Теперь картина прогревания не противоречит физическому смыслу задачи.
Аналитическое условие устойчивости можно получить только для простых модельных задач, но можно обеспечить устойчивость вычислений алгоритмически в том числе и для нелинейных задач следующим образом:
  1. вычислить значения производных по времени во всех внутренних узлах объекта;
  2. определить максимальное из этих значений;
  3. разрешить измениться переменной в этом узле на некоторую заданную величину, которая определяется из физического смысла задачи. (Например для нашей задачи максимальной значение температуры внутри стержня , за один шаг по времени можем позволить измениться ей, допустим, на . Исходя из этого вычисляем значение );
  4. выполняем шаг по времени для всех узлов, изменение температуры во всех узлах не превысит разрешенной величины;
  5. если модельное время не закончилось переходим к пункту 1.
Рассмотрим решение задачи явной разностной схемой с граничными условиями второго рода (типа Неймана).
Предположим необходимо определить изменение распределения температуры в стержне во времени (изменение температурного поля), теплоизолированном с цилиндрической стороны,с заданной температурой с левой стороны, заданным тепловым потоком с правой (граничные условия) и заданной температурой стержня в нулевой момент времени (начальные условия)(см. рис. 3).
Рис. 3.  
Методика решения задачи остается прежней, только для вычисления необходимо знать . Это значение можно вычислить, если использовать разностную аппроксимацию граничного условия второго рода:

Аналогичным образом следует поступать на последующих временных слоях для вычисления .
Рассмотрим решение задачи рис. 1 с помощью неявной разностной схемы:
Получили замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, где , — граничные условия, , — начальные условия.
При , и , решив систему уравнений, получим ; в момент времени .
Для момента времени также придется решить систему линейных алгебраических уравнений :


Решение задачи рис. 3 с помощью неявной разностной схемы сводится к тому, что к системе уравнений, полученных для внутренних узлов 1 и 2 добавляется уравнение граничного условия, заданное в разностном виде, то есть

В результате на каждом временном шаге получается замкнутая система уравнений относительно неизвестных , , .