При получении локальных матриц жесткости и вектора нагрузок для конечных элементов с использованием аппроксимирующих выражений высоких порядков возрастает сложность подинтегральных выражений, что делает получение аналитических выражений почти невозможным. На помощь можно призвать численное вычисление интегралов. На первый взгляд кажется, что эта процедура может оказаться очень трудоемкой в вычислительном плане, поскольку интегралы необходимо вычислять для каждого конечного элемента. Так и было бы, если использовать методы типа прямоугольников или трапеций. Но, поскольку наиболее употребительными аппроксимирующими выражениями являются полиномы, можно воспользоваться квадратурными формулами, когда для точного вычисления интеграла используется простое суммирование значений подинтегрального выражения, вычисленных в специальных точках и умноженных на соответствующие веса, то есть

Как частный случай такого вычисления известна теорема о среднем, позволяющая вычислить определенный интеграл от линейной функции, по ее значению в средней точке интервала.
В случае формул Гаусса можно по двум точкам получить точное значение для полинома третьего порядка, по трем — пятого. В общем случае порядок можно вычислить из формулы

где — порядок аппроксимирующего полинома.
Значения координат узлов и соответствующих весов можно найти, например, в [1]
Список литературы
1. Крылов В.И. "Приближенное вычисление интегралов" М:. — Наука, 1967.