Стационарное уравнение теплопроводности в двумерной области выглядит следующим образом:

Граничные условия первого и второго рода имеют вид: на и на . Решение будем искать в форме
 (1)

При использовании естественных граничных условий придем к уравнению

Подставляя аппроксимацию (1) получим систему уравнений

где коэффициенты матриц определяются следующим образом:
 (2)

 (3)

где — поверхность элемента, а — часть границы этого элемента, которая лежит на или аппроксимирует ее часть.
Рис. 1.  
Для четырехугольного билинейного элемента (см. рис. 1), функции формы которого равны:




где и — локальные координаты элемента.
Матрица будет иметь вид:

Компоненты вектора нагрузок вычисляются согласно (3)

причем последние два члена появляются в том случае, если узлы , и лежат на границе.



причем члены, содержащие , появляются в том случае, если узлы , и лежат на границе.