Нечеткие множества
Понятие нечетких множеств (fuzzy sets) было введено в 1965 г. Л.Заде как обощение понятия классических множеств. В нечетком множестве каждый его элемент может принадлежать множеству частично, тогда как в классических множествах элемент или целиком принадлежит множеству, или нет. Степень принадлежности элемента a нечеткому множеству характеризуется коэффициентом принадлежности, обозначаемому
— действительное число , принимающее значение в диапазоне (0,1), при этом 1 означает 100%-ю (безусловную) принадлежность a к множеству , а 0 — безусловное отсутствие a в .
Отображение множества элементов во множество значений образует функцию принадлежности .
Функция может быть определена явно в виде, например, алгебраического выражения или таблично (дискретно) в виде массива пар

В теории нечетких множеств помимо числовых переменных существуют переменные лингвистические. Например, лингвистичекая переменная "температура тела человека" может принимать значения: "пониженная", "нормальная", "повышенная", "высокая".
Нечеткое множество "нормальная температура тела" может быть дискретно задано следующим образом:

То же множество может быть представлено следующим выражением:

На рис. 1 даны графики функций принадлежности для множеств, связанных с лингвистической переменной "температура тела человека".
Рис. 1.  Примеры графиков функций принадлежности
Носителем нечеткого множества являются все элементы, для которых коэффициент принадлежности больше нуля, т.е. . В приведенном выше примере табличного задания функции принадлежности носителем нечеткого множества "нормальная температура" является следующее множество:

Два нечетких множества и равны между собой тогда и только тогда, когда () = () для всех элементов этих множеств.
Кардинальное число нечеткого множества () — сумма коэффициентов принадлежности всех элементов этого множества, т.е.

Нечеткое множество называется нормальным, если хотя бы один его элемент имеет коэффициент принадлежности равный 1.
Сечением нечеткого множества называется подмножество элементов , для которых (слабое сечение) или (сильное сечение), при этом принадлежит [0,1].
Операции на нечетких множествах
Основными операциями на нечетких множествах являются следующие.
Нечеткое множество считается подмножеством нечеткого множества , если для всех элементов выполняется неравенство
Описанные выше операции на нечетких множествах обладают следующими свойствами:
Здесь и — символы, обозначающие операции над нечеткими множествами.
Меры нечеткости нечетких множеств
Для определения степени нечеткости множества введено понятие меры нечеткости, сводящейся к измерению уровня различия между нечетким множеством и его отрицанием .
Наиболее популярна мера Е.Егера

где — количество элементов в , — расстояние между между множествами и в метрике ( равно 1 или 2). Значение соответствует метрике Хемминга

а значение =2 соответствует эвклидовой метрике

Другую меру нечеткости предложил Б.Коско, она основана на кардинальных числах множеств

Нечеткие продукции
В простейшем случае нечеткая продукция имеет следующий вид:

где и — значения лингвистических переменных, задаваемые функциями принадлежности. Левая часть продукции называется условием (или предпосылкой), а правая — следствием (или заключением). Продукцию часто в сокращенном виде записывают как
В более общем случае нечеткая продукция принимает такую форму:

Для вычисления значения коэффициента принадлежности сложного коньюнктивного условия продукции используются 2 способа:
Приписывание значения коэффициента принадлежности сложному условию продукции будем называть агрегированием условия.
Для вычисления коэффициента принадлежности продукции в целом также используется два способа:
Такой расчет значения функции принадлежности называется агрегированием на уровне продукции.
Нечеткая продукционная система Мамдани-Заде
Продукционные системы с нечеткими продукциями называются нечеткими продукционными системами (ПС).
В технических и ряде других приложений в качестве входов и выхода часто выступают доступные к измерению числовые величины. В такой ситуации для согласования нечетких продукций, оперирующих лингвистическими переменными, с входами/выходами в виде числовых значений в состав ПС вводятся так называемые фуззификатор и дефуззификатор. Фуззификатор преобразует множество входных данных в нечеткое множество, определяемое с помощью значений функции принадлежности, а дефуззификатор преобразует нечеткое множество, определяемое с помощью значений функции принадлежности, в конкретное значение.
На рис. 2 упрощенно проиллюстрировано функционирование нечеткой ПС Мамдани-Заде.
Рис. 2.  Нечеткая продукционная система Мамдани-Заде
Поступившие на вход значения (например, результаты измерений на реальном физическом объекте) , преобразуются в значения функций принадлежности нечетких множеств, с которыми оперирует ПС. Интепретатор ПС выбирает из базы нечетких продукций все применимые к входным данным продукции и определяет функции принадлежности переменных из правой части продукций. Поскольку в общем случае применимыми оказываются несколько продукций, то возникает проблема агрегирования функций принадлежности из правых частей отдельных продукций. Это объединение функций принадлежности реализуется, как правило, оператором логического сложения. Нечеткий результат в виде функции принадлежности трансформируется дефуззификатором в конкретное значение выхода .
Пример 1
Пусть на вход нечеткой ПС поступают две величины и . Фуззификатор, используя базу функций принадлежности всех известных ему нечетких множеств, определяет значения коэффициентов принадлежности. Отличными от 0 оказались три коэффициента принадлежности для трех нечетких множеств , и , как это показано на рис. 3.
Рис. 3.  Графики функций принадлежности для трех нечетких множеств
Далее интерпретатор выявил две применимые нечеткие продукции:
Для каждой из продукций в виде логического произведения выполняется агрегирование левой части (условия):
Затем выполняется агрегирование (опять же логическим произведением) на уровне продукций, как это показано на рис. 4.
Рис. 4.  Графики функций принадлежности, являющихся результатом агрегирования на уровне продукций
Результат агрегирования — функции принадлежности, графики которых выделены жирной линией.
Далее агрегатор продукций дает итоговую функцию принадлежности в виде логической суммы функций принадлежности отдельных продукций, как это показано на рис. 5.
Рис. 5.  График итоговой функции принадлежности
В конце концов дефуззификатор превращает итоговую функцию принадлежности в конкретное значение числовой величины .
Фуззификатор
Фуззификатор осуществляет преобразование четкого множества в нечеткое множество , характеризующееся функцией принадлежности . Наибольшее распространение на практике получили функции принадлежности гауссова типа, а также треугольные и трапецеидальные функции.
Функция Гаусса для переменной с центром c и параметром ширины имеет следующий вид

На рис. 6 даны графики этой функции для и
Рис. 6.  Графики функции Гаусса
Находит также применение обощенная гауссова функция в виде

где — параметр формы. На рис. 7 даны графики этой функции для и
Рис. 7.  Графики обощенной функции Гаусса
Легко заметить, что подбором параметра формы обощенной функции Гаусса можно придать треугольную и трапецеидальную формы. Обобщенная функция Гаусса может быть также представлена в рациональной форме

Симметричная треугольная функция принадлежности может быть описана в виде


График треугольной функции принадлежности представлен на рис. 8.
Рис. 8.  График треугольной функции принадлежности
Дефуззификатор
Дефуззификатор преобразует нечеткое множество, заданное функцией принадлежности , в скаляр. Для такого преобразования могут быть использованы многие способы, наиболее популярны следующие.
На рис. 9 показано применение некоторых способов дефуззификации.
Рис. 9.  Пример применения некоторых способов дефуззификации
Нечеткая система Мамдани-Заде как универсальный аппроксиматор
Результат, интересный с точки зрения пременения в нейронных сетях, может быть получен при использовании в нечеткой продукционной системы:
  1. алгебраического произведения в качестве агрегатора условий (левых частей) продукций;
  2. логического произведения в качестве агрегатора относительно продукций;
  3. алгебраического произведения в качестве агрегатора результатов продукций;
  4. дефуззификации относительно среднего центра.
Обозначим через входной вектор. Пусть имеется нечетких продукций вида

где — номер продукции.
Тогда агрегирование алгебраическим произведением условий каждой продукции дает

Учитывая то, что для агрегирования относительно продукции используется логическое произведение (минимум из двух), и то, что , где — это центр функции принадлежности нечеткого множества из правой части продукции, в качестве значения функции принадлежности относительно -ой продукции в целом также будем иметь

Дефуззификация относительно среднего центра дает

При использовании для функций принадлежности всех множеств обобщенной функции Гаусса в виде

в итоге имеем

где , и — центр, параметры ширины и формы функции принадлежности нечеткого множества .
Доказано, что представленная непрерывная функция при соответствующем подборе параметров и может аппроксимировать заданную непрерывную функцию с произвольной точностью.
Нечеткая система Такаги-Сугено-Канга
Широкую популярность среди нечетких продукционных систем получила система Такаги-Сугено-Канга (TSK), продукции которой выглядят следущим образом:

Поскольку в правых частях продукций определяются конкретные значения выходов , дефуззификатор на выходе системы не требуется.
Функция в правой части продукции — это, чаще всего, полином первой степени

где — веса, подбираемые в процессе обучения продукционной системы.
При использовании продукций итоговый выход системы определяется как средневзвешенная сумма в виде

Для вычисления веса -ой продукции в ПС используется агрегирование (в виде логического или алгебраического произведения) условий нечетких правил.