Рассмотрим двухточечную краевую задачу для системы ОДУ второго порядка

 (1)

где - вектор, - вектор-функция.
Положим, что для системы (1) выполнены условия существования и единственности решения, а также что решение системы (1) устойчиво. Опустим вопросы выбора шага интегрирования.
Основным методом решения задачи (1) является метод конечных разностей, состоящий в аппроксимации на некоторой сетке вторых производных конечными разностями и сведении задачи (1) к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений вектора в узлах этой сетки.
Распараллеливание метода конечных разностей может быть выполнено по схеме, аналогичной схеме распараллеливания задачи Коши, рассмотренной в параграфе 1. Однако если количество уравнений в задаче (1) невелико, при этом могут быть загружены не все процессоры системы. В этом случае рациональным может быть подход, основанный на параллельном решении СЛАУ, полученной после дискретизации задачи (1).
Рассмотрим этот подход на примере одномерной краевой задачи
 (2)

Покроем интервал равномерной сеткой с шагом (см. Рис.1).
Рис. 1.  Используемая сетка.
Заменим вторую производную ее конечно разностным аналогом с использованием центральных разностей. Тогда уравнение (2) запишется в дискретном виде
 (3)

Так как - заданные краевые условия, уравнение (3) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными . В матричной форме СЛАУ (3) имеет вид
 (4)

где трехдиагональная -матрица и -вектор равны
 (5)

Решение СЛАУ (4) может быть распараллелено методами, рассмотренными в главе 8. Рассмотрим еще один метод решения СЛАУ вида (4) – метод переупорядочивания неизвестных.
Метод переупорядочивания неизвестных.
Положим для простоты записи и разобьем узлы сетки на группы по узлов в каждой и группу , содержащую узлов (см. Рис.2).
Рис. 2.  Разбиение на группы и перенумерация узлов сетки .
Перенумеруем неизвестные так, как показано на Рис.2 (поставив в соответствие последние номера узлам из множества ).
В результате система (4) преобразуется к виду
 (6)

Здесь - трехдиагональные одинаковые матрицы, аналогичные матрице ; - диагональная матрица с диагональными элементами, равными (-2); матрицы размерности , состоящие только из нулей и единиц; ; - -мерные векторы, которые содержат компоненты вектора из групп , соответственно (см. Рис.2); - -мерный вектор, соответствующий группе ; векторы состоят из компонент вектора и организованы аналогично векторам .
Пример 1
Пусть (см. Рис.3).
Рис. 3.  К примеру 1.
Система (3) при этом приобретает вид
 (7)

или в матричной форме
 (8)

Вернемся к системе (6). Введем обозначения , ,

В этих обозначения систему (6) можно записать в виде

или в виде
 (9)

Положим, что матрица невырожденная, и умножим обе части первого из уравнений (9) на матрицу . В результате система (9) преобразуется к виду
 (10)

Вычитая из второго уравнения системы (10) первое уравнение, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно компонент вектора
 (11)

Если система (11) решена, то, как следует из (9), компоненты вектора находятся из системы линейных алгебраических уравнений
 (12)

Отметим, что поскольку матрица является блочно-диагональной матрицей, решение системы (12) распадается на решение независимых систем
 (13)

Схема параллельного варианта алгоритма переупорядочивания неизвестных.
  1. На интервале строим сетку и разбиваем ее узлы на группы узлов . Перенумеровываем узлы сетки и соответствующие неизвестные . Получаем систему линейных алгебраических уравнений вида (9).
  2. Последовательно на одном процессоре системы или параллельно на процессорах (см. главу 1) решаем систему линейных алгебраических уравнений (11) – получаем вектор .
  3. Распределяем по процессорам элементы матрицы и компоненты векторов так, как показано на Рис.4.
  4. Параллельно на всех процессорах системы решаем системы линейных алгебраических уравнений (13) – находим векторы неизвестных :
  5. Каждый из процессоров системы посылает одному из процессоров найденные векторы неизвестных. На этой основе указанный процессор формирует вектор
Рис. 4.  К схеме параллельного варианта алгоритма переупорядочивания неизвестных.
Эффективность метода переупорядочивания неизвестных можно повысить, если априори известно, что матрица A симметрична и положительно определена.
Замечание. Как уже отмечалось в главе 1, для решения ленточных систем (в том числе, систем вида (5)) применим не только метод переупорядочивания неизвестных, но и блочный метод, метод циклической редукции и другие методы.