Параметрический анализ позволяет оценить влияние параметров на количественные критерии качества системы. Однако существует важнейший качественный критерий, проверка которого является первым этапом анализа, а именно, устойчива ли система при заданных параметрах. В рамках одновариантного анализа ответ на этот вопрос дают известные из теории автоматического управления критерии Найквиста, Рауса-Гурвица и др. Однако для многовариантного анализа предпочтительнее иметь метод, который давал бы ответ на вопрос о влиянии вариации параметров на свойство устойчивости системы.
Метод D-разбиения — способ построении области устойчивости линейной системы автоматического управления по некоторому параметру, т.е. определение границ допустимых изменений параметров, при которых система автоматического управления не теряет устойчивости.
Постановка задачи.
Для линейной системы требуется определить диапазон изменения некоторого параметра k, в котором система сохраняет устойчивость. Дополнительно предполагается, что этот параметр входит в характеристический полином системы линейно. В качестве исследуемого параметра может выступать коэффициент усиления, постоянная времени, коэффициент полинома передаточной функции.
Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического управления (САУ) :
ansn+an-1sn-1+...+a1s+a0=0 (1)
Его можно записать в следующем виде:
D(s) = sn + cn sn -1 + cn-1s n-2 + ... + c1= 0, (2)
где cn = an-1/an cn-1 = an-2/an...c1 = a0/an.
Очевидно, что для заданного набора коэффициентов cn,cn-1,...c1 характеристическое уравнение (2) имеет единственное решение, иными словами, набор корней (s1 , s2 ,...,sn ). В общем случае корни являются комплексными т.е. для i-того корня справедливо si=α+jβ. Более того, в силу вещественности коэффициентов cn,cn-1,...c1 этому корню соответствует комплексно-сопряженный корень si+1=α-jβ.
Известный метод оценки устойчивости по корням заключается в определении знака вещественной части корня si :
- если α>0, имеют место колебания с нарастающей амплитудой, т.е. движение неустойчиво;
- если α=0, получаем незатухающие колебания, т.е. система находится на границе устойчивости
- если α<0, амплитуда колебаний с течением времени уменьшается и колебания затухают.
В частном случае вещественного корня, т.е. при равенстве нулю коэффициента при мнимой части β=0 можно выделить:
- если α>0, движение апериодическое и неустойчивое;
- если α=0, движение нейтральное;
- если α<0, движение апериодическое и устойчивое;
Таким образом, корневое условие устойчивости динамической системы формулируется следующим образом:
если все вещественные части корней характеристического уравнения отрицательны, то динамическая система устойчива, если хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть, то система неустойчива.
При изменении параметров САУ изменятся и коэффициенты характеристического полинома ci, а значит, и корни si.
Реализация метода корневого годографа позволяет проследить движение корней по комплексной плоскости при плавном изменении какого-либо параметра САУ.
Введем в рассмотрение два пространства: n- мерное пространство коэффициентов c1,...cn-1,cn и комплексную плоскость для корней (α,jβ). Тогда во-первых, переменный вектор коэффициентов графически изображается точкой в n-мерном пространстве с осями c1,...cn-1,cn, т.е. традиционным для многопараметрического анализа способом. Во-вторых, пространство параметров отображается на комплексную плоскость корней. В третьих, при перемещении точки в пространстве параметров вследствие изменения всех или некоторых коэффициентов будут перемещаться корни характеристического уравнения. Очевидно, размерность пространства параметров равна числу корней и числу траекторий на корневой комплексной (т.е. двумерной) плоскости
Графическая интерпретация пространства параметров - это n-мерный куб. Наглядное представление, очевидно, возможно для 1 2 и 3 параметров ci.
Все указанные положения традиционны для многопараметрического анализа и метода корневого годографа, в частности. Далее рассмотрим новые положения, которые составляют суть рассматриваемого метода.
При движении вследствие изменения вектора параметров, некоторые корни будут переходить через мнимую ось комплексной плоскости из левой полуплоскости в правую и наоборот. В момент перехода такой k-й корень примет значение sK = jωK, которому соответствует точка k в пространстве коэффициентов (c1k,c2k,...cnk).. Подставив значение корня sK = jωK в характеристическое уравнение, получим следующее тождество:
D(sk) =D(jωK)= (jωK) n + cn (jωK)n -1 + cn-1(jωK) n-2 + ... + c1= 0, (3)
Данной частоте ωK , очевидно, соответствует целый набор всевозможных сочетаний коэффициентов c1,...cn-1,cn, удовлетворяющий (3).
Меняя частоту ω от - до + , можно построить в n-мерном пространстве коэффициентов сложную поверхность S, состоящую из этих всевозможных сочетаний, и разделяющую его на области, называемое D-областями. Уравнение (3) - уравнение границы D-разбиения.
Поскольку поверхности S в пространстве параметров соответствуют точки на корневой плоскости, соответствующие чисто мнимым корням, переход из одной D-области в другую через эту поверхность соответствует переходу одного или нескольких корней через мнимую ось в плоскости корней. Это гарантирует, что внутри области нет точек, соответствующих чисто мнимым корням, и каждая точка внутри конкретной D-области соответствует уравнению с определенным для данной области количеством левых и правых корней. Под левыми и правыми корнями понимаем корни с вещественными частями, расположенными слева и справа от мнимой оси. Очевидно, правые корни (всего их m) свидетельствуют о потери системой устойчивости. Поскольку число левых и правых корней одинаково внутри области, достаточно взять всего одну точку в пространстве коэффициентов и найти для нее число правых корней. Перемещаясь через границу S, можно исследовать все D-области и найти число m правых корней. Поскольку нас интересуют области устойчивости, конечной задачей D-анализа является выявление областей D, которым соответствуют уравнения с отсутствием правых корней, которые и называют областями устойчивости. Отсюда название метода определения областей устойчивости - метод D-разбиений.
Для практического использования рекомендуется одновременное исследование не более двух коэффициентов. В качестве варьируемых параметров можно использовать не только коэффициенты характеристического уравнения, но и более явные параметры системы (коэффициент усиления, коэффициенты корректирующего устройства и т.п.