Центральной вычислительной задачей при построении областей D-разбиения является исследование влияния изменения частоты ω от - до + на поведение комплексного коэффициента в плоскости параметра
K=X(ωk) + jY(ωk) (1)
Сходная задача решается при построении годографа Найквиста, поэтому возникла идея использовать соответствующий интструмент и для задачи D- разбиения.
Годограф Найквиста используется для формулировки частотного критерия Найквиста устойчивости системы.
Пусть имеется замкнутая система с передаточными функциями объекта регулирования G(s) и корректирующего устройства в обратной связи H(s). Передаточная функция замкнутой одноконтурной системы, как показано ранее, определяется по формуле:
= (2)
так что для определения устойчивости замкнутой системы необходимо исследовать ее характеристическое уравнение
F(s)=1+L(s)=0 , L(s)= (3)
Указанное уравнение справедливо и для многоконтурных систем.
Найквист предложил отображать правую половину s-плоскости на плоскость F(s).
Контур - это некоторая замкнутая траектория на одной плоскости, отображаемая на другую плоскость соотношением F(s). Поскольку s - комплексная переменная на комплексной плоскости (σ,jω), то функция F(s)=u+jv - также комплексная величина в координатах (u,v). Направление обхода контура на s-плоскости сохраняется и при обходе контура на F(s) плоскости.
Функция F(s) имеет конечное число нулей и полюсов и представляется в виде
(4)
где si- нули функции F(s), а sk -ее полюса.
С другой стороны, из (2) и (3) следует, что
F(s)=1+L(s)=1+=
т.е. полюсы L(s) совпадают с полюсами F(s), Напомним, что корни характеристического уравнения системы - это нули функции F(s).
Охваты полюсов и нулей функции F(s) контуром на s-плоскости можно связать с охватом начала координат F(s)-плоскости при помощи теоремы Коши - принцип аргумента:
если контур Γs на s-плоскости при движении по нему по часовой стрелке охватывает Z нулей и P полюсов функции F(s), не проходя при этом ни через один нуль или полюс, то соответствующий контур ΓF на F(s)-плоскости охватывает начало координат N=Z-P раз в направлении по часовой стрелке.
Корневое условие устойчивости, естественно, справедливо и для системы T(s). Его можно сформулировать для функции F(s) следующим образом: чтобы замкнутая система T(s) была устойчива, все нули функции F(s) (т.е. корни характеристического уравнения замкнутой системы) должны быть расположены в левой половине плоскости s.
Совместное применение теоремы и условия устойчивости приводит к следующему подходу: на основании теоремы Коши нужно выбрать на s-плоскости контур Γs, который бы охватывал ее правую половину и исследовать, не находятся ли внутри этого контура какие-либо нули.
Контур Найквиста - контур Γs, охватывающий всю правую половину s-плоскости и включающий всю мнимую ось от -j до +j (эта часть дает отображение F(jω)) и замыкающийся полуокружностью радиуса r, где r.
Годограф Найквиста - отображение контура Найквиста на F(s) -плоскость для функции F'(s)=F(s)-1=L(s).
Для построения D-области следует привести задачу (1) к виду (3). Для физически реализуемых систем имеется требование: степень полинома числителя меньше или равна степени полинома знаменателя, Поэтому область устойчивости с помощью годографа Найквиста строят для обратной величины К, т.е. для
k'
Далее берется вещественная часть найденной области re(k'), откуда искомая облать K=1/re(k').