Область Парето используется в задаче многокритериальной оптимизации.
Применим этот подход для анализа результатов параметрических исследований в случае более, чем одного прямого или косвенного критерия качества.
Если проектировщик желает сам осуществить окончательный выбор параметров системы, принимая во внимание несколько важнейших критериев, например, 1,...m , mk, где k- общее количество критериев, можно облегчить ему выбор, исключив из числа пробных точек попавших в множество , такие точки, которые заведомо не могут оказаться наилучшими. При этом используется понятие эффективных точек.
Определение. Пусть в n-мерном замкнутом множестве заданы m непрерывных функций 1(),...m(). Точка ' безусловно лучше, чем точка , если при всех ν=1,2,...m () () и хотя бы для одного критерия имеет место строгое неравенство .
В этом случае можно также сказать , что точка безусловно хуже, чем точка .
Если не существует точки ', безусловно лучшей, чем , то точка называется эффективной. Если существует точка ', безусловно лучшая, чем , то точка называется неэффективной. Очевидно, что при окончательном выборе параметров нужно принимать во внимание только эффективные точки : неэффективная точка не может оказаться наилучшей. Эффективные точки называют также паретовскими или нехудшими. Сохраним название паретовские для обозначения образов эффективных точек в пространстве критериев.
Множество всех эффективных точек точек обозначается . Оно обладает следующими свойствами
1. Теорема 1. Если множество замкнуто и все функции 1(),...m() непрерывны, то множество эффективных точек E не пусто
2. Рассмотрим пространство критериев: m-мерное пространство точек с декартовыми координатами Φ1,...Φm, т.е. отдельными скалярными критериями. Каждая точка пространства параметров отображается в точку =(Φ1(),...Φm()) пространства критериев Множество всех точек , соответствующих всевозможным , назовем множеством всевозможных точек в пространстве критериев . Если выполнены условия теоремы (1) , то множество - замкнуто. Если часть границы множества определяется критериальными ограничениями Φν() () , то соответствующая часть границы состоит из куска гиперплоскости Φν() =().
Множество всех точек , соответствующих всевозможным эффективным точкам , назовем множеством паретовских точек .
Теорема (2). Паретовские точки расположены на границе множества всевозможных точек , что вытекает из свойства, называемого минимальным свойством эффективных точек.
В общем случае размерность множества паретовских точек равна m-1: : фиксировав произвольные возможные значения b2,...bm , мы получим одну соответствующую им паретовскую точку (b1,b2,...bm ), в которой b1 определяется как условный минимум первого из критериев (т.е. первой координаты) Φ1() .
Приближенно эффективные точки
Предположим, что в результате расчетов мы получили конечное множество , состоящее из пробных точек , принадлежащих и в этих пробных точках известны все значения Φν() при ν=1,2,...m.
Определение. Точка из называется приближенно эффективной, если не существует такой точки из , которая была бы безусловно лучше, чем .
Множество всех приближенно эффективных точек из обозначим
Простейший алгоритм выделения приближенно эффективных точек. Помечается точка из , сравнивается со всеми оставшимися из , исключаются все точки , которые безусловно хуже, чем . Затем из оставшихся точек выберем непомеченную точку, например и пометим ее. Сравнивая ее со всеми оставшимися точками (включая ) , исключим те из них , которые безусловно хуже, чем и т.д. После конечного числа шагов останутся только помеченные точки. Можно доказать, что все оставшиеся точки приближенно эффективные.
Геометрическая интерпретация процесса исключения. Выбрав точку , мы исключаем все точки , образы которых ( в пространстве критериев) попали в квадрат ( в многомерном случае - гипероктант) с вершиной в точке , - образе точки .
Компромиссная кривая. Особый интерес для практики : случай m=2 : заданы два решающих критерия. Множество паретовских точек в двумерном пространстве критериев называют компромисной кривой. В общем случае она может состоять из несвязных кусков и содержать изолированные точки.
Компромиссная кривая строго монотонно убывает в следующем смысле: для точек =(b1,b2 ), '=(b'1,b'2 ) - произвольных , принадлежащих компромиссной кривой если b1 < b'1, то b2 > b'2 . Как следствие : компромиссная кривая не содержит горизонтальных или вертикальных образов. и ее можно представить в виде Φ2 =u(Φ1), Φ1 =v(Φ2).
Приближенно компромиссная кривая - компромиссная кривая для приближенно эффективных точек. Это ломаная, соединяющая по порядку все приближенные Паретовские точки. Можно доказать, что когда количество пробных точек N возрастает, приближенная компромиссная кривая в некотором смысле приближается к компромиссной кривой.