Многие методы решения многомерной задачи нелинейного программирования основаны на сведении этой задачи к задаче безусловной оптимизации. Поэтому рассмотрим

-мерную задачу оптимизации без ограничений
 | (1) |
По аналогии с одномерной задачей, для того, чтобы точка

являлась минимумом функции

(

) необходимо выполнение условия стационарности функции

(

) в точке

или, что то же самое, необходимо, чтобы точка

была стационарной точкой функции

(

):
 | (2) |
Положим, что функции

(

) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки

. Для поиска достаточного условия достижения этой функцией в точке

минимума, разложим

(

) в окрестности точки

в ряд Тейлора:
 | (3) |
Здесь

-мерный вектор-столбец достаточно малых величин

,

–

-матрица Гессе.
По аналогии с одномерной задачей, для того, что в точке

достигался минимум функции

(

), необходимо, чтобы разность

была положительной. Поскольку

, то из (3) следует, что для выполнения этого условия необходимо, чтобы матрица Гессе

(

) была положительно определена в точке

.
Таким образом, справедлива
Теорема 1. Если функция

(

) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки

R
n, то необходимыми и достаточными условиями минимума этой функция в точке

являются условия:
 | (4) |

(

) - положительно определена

Таким образом, теорема 1 определяет необходимые и достаточные условия минимума в многомерная задача безусловной оптимизации.
Заметим, что условие

(

)=0 является только
необходимым условием минимума в многомерной задаче безусловной оптимизации.
По аналогии с одномерной задачей точками, в которых функция

(

) достигает своего наименьшего значения, могут быть либо ее стационарные точки функции, либо критические точки функции (точки недифференцируемости).
Поэтому так же, как в одномерной задаче, точку, в которой функция

(

) принимает наименьшее значение нужно искать, сравнивая значения этой функции во всех стационарных и критических точках.