Цель работы: изучение принципов постановки тепловой задачи на распределенном уровне и ее решения с помощью метода конечных элементов в среде ANSYS.
Теоретическая часть
Процессы теплопередачи происходят в пространстве и времени. Поэтому исследование теплопроводности сводится к изучению пространственно-временного изменения температуры, т. е. к нахождению зависимости
, где
,
,
— пространственные координаты в декартовой системе,
— время.
Совокупность значений температуры во всех точках изучаемого пространства называется температурным полем. Различают стационарные и нестационарные температурные поля. Нестационарным температурным полем называется такое поле, температура которого изменяется не только в пространстве, но и с течением времени. Стационарным температурным полем называется такое поле, температура которого в любой его точке не изменяется во времени.
Для решения задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности, которое дает зависимость между температурой, временем и координатами элементарного объема. В декартовой системе координат уравнение теплопроводности для изотропных материалов имеет вид:
где
— коэффициент теплопроводности,
— теплоемкость,
— плотность,
— мощность тепловыделения.
Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает перенос тепла внутри тела. Для того чтобы найти температурное поле внутри тела в любой момент времени, т. е. решить дифференциальное уравнение, надо знать геометрическую форму тела и краевые условия. Краевые условия состоят из начальных и граничных условий.
Начальные условие представляют собой распределение температуры в начальный момент времени:
где
— известная функция. Во многих нестационарных задачах принимают равномерное распределение температуры в начальный момент времени:
.
Граничные условия определяют закон взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела. Граничные условия могут быть заданы различными способами:
- Граничное условие первого рода задает распределение температуры по поверхности тела в любой момент времени:
где 
— температура поверхности тела. В частном случае 
, то есть температура на поверхности постоянна на протяжении всего процесса теплообмена. Это может быть осуществлено при искусственном поддержании постоянной температуры или при особых условиях теплообмена (см. граничное условие третьего рода).
- Граничное условие второго рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела как функции времени:
где 
— нормаль к граничной поверхности. Простейший случай граничного условия второго рода состоит в постоянстве плотности теплового потока: 
. Такой случай теплообмена имеет место при нагревании тел в высокотемпературных печах, где передача тепла в основном происходит при помощи излучения по закону Стефана-Больцмана, когда температура тела значительно меньше температуры излучающих поверхностей.
- Граничное условие третьего рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой (закон Ньютона). В этом случае количество тепла, передаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду с температурой , прямо пропорционально разности температур между поверхностью тела и окружающей средой:
Чтобы функция была решением тепловой задачи необходимо, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению, начальным и граничным условиям. В случае стационарной задачи начальные условия отсутствует.
По теореме единственности решения [1], если некоторая функция удовлетворяет выше указанным условиям, то она является единственным решением данной задачи.
Методы математической физики [1], в том числе метод разделения переменных Фурье, метод источников, операционные методы, методы интегральных преобразований, позволяют эффективно решать узкий круг задач с большим количеством допущений. В инженерных тепловых задачах имеют место конечные объемы сложной геометрической формы, произвольные граничные условия и материалы с нелинейными характеристиками. Поэтому для решения тепловых задач в инженерной практике применяются численные методы.
В пакете ANSYS, предлагаемом для дальнейшего изучения, реализован метод конечных элементов [2].
Список литературы
1. Лыков А. В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. – 598 с.
2. О.Зенкевич, К.Морган Конечные элементы и аппроксимация. Пер. с англ. – М.:Мир,1986 -318с.
3. Системы автоматизированного проектирования: В 9-ти кн. Кн. 4. Математические модели технических объектов: Учеб. пособие для втузов/В. А. Трудоношин, Н. В. Пивоварова; Под ред. И. П. Норенкова. — М.: Высш. шк., 1986. – 160 с.: ил.
4. Чигарев А. В., Кравчук А. С., Смалюк А. Ф. ANSYS для инженеров: Справ. пособие. М.: Машиностроение-1, 2004. 512 с.
5. http://www.fea.ru
