Вектор

называется точкой локального минимума функции

(

), если для всех точек

, принадлежащих некоторой малой окрестности

(

) точки

имеем
Значение функции

(

) в точке локального минимума называется локальным минимумом функции

(

). Таким образом, если точка

является точкой локального минимума функции

(

), то величина

(

) есть локальный минимум этой функции.
Точка

называется точкой глобального минимума функции

(

), если
таким образом, точка наименьшего из всех локальных минимумов называется точкой глобального минимума функции

(

). Соответствующее значение функции

(

) называется глобальным минимумом этой функции Например, на рис. 1, который иллюстрирует одномерный случай

,

,

-точки локального минимума функции

(

), а величины Ф
1*,Ф
2*,Ф
3*- соответствующие локальные минимумы этой функции,

- точка глобального минимума функции

(

), а Ф
3*- глобальный минимум этой функции.
Рис. 1. К определению локального и глобального минимумов функции
Критерий оптимальности 
(

), где

[

,

] скаляр, называется
унимодальным критерием оптимальности, если в области определения [

,

] функции

(

) существует точка

[

,

] такая, что на полуинтервале [

,

) функция

(

) убывает, а на полуинтервале (

,

]-возрастает. Заметим, что определение одномерного унимодального критерия оптимальности не требует непрерывности функции

(

). Например, на рис. 2 одномерная функция

на интервале

является унимодальной, хотя и имеет в точках

,

разрывы. Заметим также, что точка

может быть как внутренней точкой отрезка [

,

], так и совпадать с одним из его концов.
Рис. 2. К определению унимодального критерия оптимальности: x1,x2 - точки разрыва критерия оптимальности Ф(x).
где произвольное число

.
Приведенное определение имеет простой геометрический смысл: если
критерий оптимальности 
(

) выпукл на интервале [

,

], то все точки любой дуги его графика лежат под соответствующей хордой (см. рис. 3).
Рис. 3. К определению выпуклого одномерного критерия оптимальности.
Рис. 4. Пример выпуклого критерия оптимальности: на интервале [a1,a2] значения критерия оптимальности постоянны и равны c.
где произвольное число

[0,1].
Строго вогнутый критерий является унимодальным критерием.
Отметим, что выпуклая функция может иметь более одной точки локального минимума (см. Пример 1.4.1), а строго выпуклая функция – только одну точку.
Пример 1
Рассмотрим выпуклую квадратичную функцию

. Легко видеть, что эта функция достигает в точке (0,0) минимума, равного нулю. Но это же значение функция принимает во всех точках вида

- см. рис. 5.
Заметим, что рис. 5 получен с помощью следующей MATLAB-программы:
x=-2:0.06:2;
y=x;
[X,Y]=meshgrid(x);
Z=(X+Y).^2;
V=[0.025,0.5,1,2,4,8];
[C,h]=contour(X,Y,Z,V);
clabel(C,h);
Если размерность
вектора варьируемых параметров 
больше единицы (

>1), то
критерий оптимальности 
(

) может быть в своей области допустимых значений
"овражным" критерием оптимальности. Критерий оптимальности называется овражным в своей области допустимых значений, если в этой области имеют место слабые изменения частных производных функции

(

) по одним направлениям и значительные изменения этих производных по другим направлениям (см. прим. 2).
Пример 2
Рассмотрим функцию Розенброка

(

,

)=100(

-

)
2+(1-

)
2 (

=2). Легко видеть, что минимум этой функции достигается в точке (0,0) и равен нулю. Линии уровня функции приведены на рис. 6, который получен с помощью следующей MATLAB-программы:
x=-2:0.06:2;
y=x;
[X,Y]=meshgrid(x);
Z=100.*(Y-X.^2).^2+(1-X).^2;
V=[1,5,50,500];
contour(X,Y,Z,V);
Рис. 6. Линии уровня функции Розенброка. Функция медленно изменяется вдоль дна V-образного оврага и быстро – перпендикулярно этому дну.
где

и все компоненты вектора

– положительные действительные числа, а функции

(

) имеют вид


- любые действительные числа.