Если функция () является дифференцируемой, то можно сформулировать простые признаки ее выпуклости.

Теорема 1. Пусть критерий оптимальности () определен и непрерывен на интервале [,] и имеет в нем конечную первую производную (). Для того, чтобы функция () была выпуклой (строго выпуклой) на [,], необходимо и достаточно, чтобы ее производная () не убывала (возрастала) на этом интервале

Теорема 2 Пусть критерий оптимальности () определен и непрерывен вместе со своей первой производной () на интервале [,] и имеет в нем конечную вторую производную () . Для выпуклости функции () на интервале [,] необходимо и достаточно, чтобы внутри этого интервала имело место неравенство ()>0

Заметим, что условие ()>0 не является необходимым для строгой выпуклости функции (). Так функция ()= является строго выпуклой на всей числовой оси, хотя в начале координат ее вторая производная равна нулю: (0)=0 .

Укажем еще одну очевидную, но важную геометрическую характеристику выпуклого критерия оптимальности. Если критерий оптимальности () определен на интервале [,], имеет на этом интервале конечную первую производную () и выпукл, то график функции () всеми своими точками лежит над или на любой своей касательной (см. Рис.4.3).

Суть понятия вогнутого (строго вогнутого) критерия оптимальности в многомерном случае удобно определить с помощью сечения. Сечением критерия оптимальности (), , где - выпуклое множество, называется одномерная функция , где [0,1] - вещественный скаляр, а - любые точки множества .

Теорема 3. Для того, чтобы критерий оптимальности (), определенный на выпуклом множестве , был выпуклым критерием (строго выпуклым критерием), необходимо и достаточно, чтобы любое сечение этого критерия было выпуклой функцией (строго выпуклой функцией)

Теорема 4. Если критерий оптимальности (), определенный на выпуклом множестве , является дважды дифференцируемым на этом множестве, то необходимым и достаточным условием его выпуклости является неотрицательная определенность на этом множестве матрицы вторых производных функции () – матрицы Гессе (гессиана)

()=, ,[1,].

Замечание. Симметричная (*) матрица называется неотрицательно определенной, если квадратичная форма для любых векторов принимает неотрицательные значения. Если матрица неотрицательно определена, то ее собственные числа являются неотрицательными. Для проверки неотрицательной определенности матрицы удобно использовать критерий Сильвестра: если все главные миноры матрицы неотрицательны, то матрица неотрицательно определена

По аналогии с одномерным случаем, положительная определенность матрицы Гессе не является достаточным условием строгой выпуклости функции (). Так функция ()=+ строго выпукла в пространстве , но ее матрица Гессе в точке (0,0) является нулевой: (0,0)=0 .

Наряду с матрицей Гессе нам далее потребуется -мерный вектор градиента функции ()