Предположим необходимо определить распределение температуры в стержне, теплоизолированном с цилиндрической стороны, и с заданной температурой на боковых гранях.

Одномерное стационарное уравнение теплопроводности для изотропной среды выглядит следующим образом:

В соотвествии с алгоритмом решения стационарных краевых задач методом конечных разностей наносим на объект равномерную сетку, как это показано на рис. 1.

Для каждого внутреннего узла сетки записываем разностный аналог исходного дифференциального уравнения:

В результате получили замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, где неизвестными являются и , а и — известные граничные условия.

Решив систему уравнений, получим и . Это решение является точным, поскольку в исходной постановке задача линейная.

Рассмотрим теперь решение задачи с краевым условием второго рода, на правой границе стержня задан тепловой поток:

(1)

Пусть и .

Запишем разностные аналоги для внутренних узлов сетки:

Получили незамкнутую систему алгебраических уравнений (неизвестными являются , и ), дополнить которую можно разностным аналогом краевого условия (1).

Проще всего воспользоваться левой разностью:

Решая эту систему уравнений, получим , , .

Однако можно заметить, что аппроксимация задачи во внутренних узлах имеет второй порядок точности, а на границе — первый.

Можно вспомнить, что аппроксимация первой производной с помощью центральной разности имеет второй порядок точности, но для этого необходимо, чтобы граничный узел 3 был бы центральным узлом. Используется следующий прием: вводиться дополнительный фиктивный узел за пределами области, бывший граничный узел 3 становиться как бы внутренним (см. рис. 2)

Теперь можно записать следующую систему конечно-разностных уравнений:

За повышение точности пришлось заплатить увеличением размерности системы конечно-разностных уравнений.