Одна из удачных реализаций
неявного метода второго порядка, которую можно считать модификацией
метода трапеций, основана на комбинированном использовании явной и неявной
формул Эйлера. Рассмотрим вопрос, почему такое комбинирование снижает погрешность и приводит к повышению порядка метода.
Предварительно отметим, что в методах

-го порядка локальная погрешность, т.е. погрешность, допущенная на одном

-м шаге интегрирования, оценивается старшим из отбрасываемых членов

в разложении решения

в ряд Тейлора, где

— постоянный коэффициент, зависящий от метода,

— норма вектора

-х производных

, которая оценивается с помощью конечно-разностной аппроксимации,

— значение времени

внутри шага.
Если

-й шаг интегрирования в
комбинированном методе был неявным, т.е. выполненным по неявной формуле, то следующий шаг с тем же значением

должен быть явным. Используя разложение решения

в ряд Тейлора в окрестностях точки

, получаем для

-го неявного шага
 | (1) |
и для

-го явного шага
 | (2) |
где

и

— величины неявного и явного шагов, а значения производных относятся к моменту

. Подставляя (1) в (2), при

получаем:
 | (3) |
т.е. погрешности, обусловливаемые квадратичными членами в (1) и (2) взаимно компенсируются, и старшим из отбрасываемых членов становится член с

. Следовательно, изложенное комбинирование неявной и явной формул Эйлера дает метод интегрирования второго порядка.
Неявные методы и, в частности, рассмотренный комбинированный метод целесообразно использовать только при переменной величине шага. Действительно, при заметных скоростях изменения
фазовых переменных погрешность остается в допустимых пределах только при малых шагах, в квазистатических режимах шаг может быть во много раз больше.
Алгоритмы
автоматического выбора шага основаны на сравнении допущенной и допустимой локальных погрешностей. Например, вводится некоторый диапазон (коридор) погрешностей

, в пределах которого шаг сохраняется неизменным. Если же допущенная погрешность превышает верхнюю границу диапазона, то шаг уменьшается, если же выходит за нижнюю границу, то шаг увеличивается.