В параграфе 2.1 мы показали, что в этих предположениях необходимым условием минимума функции
(
) является условие
 | (2) |
Рассматриваемые в данном параграфе методы первого порядка решения задачи (1) основаны на поиске
стационарной точки функции (
), т.е. на решении задачи (2), которая представляет собой задачу нахождения корней функции
, принадлежащих интервалу [
,
].
Аналитическое решение задачи (2) возможно лишь в простейших случаях. Обычно для решения этой задачи приходится использовать численные методы нахождения корней нелинейных уравнений.
Широко известны следующие методы нахождения корней нелинейных уравнений:
- метод хорд (метод секущих);
- метод касательных (метод Ньютона решения нелинейных уравнений)
Поиск стационарной точки минимизируемой функции методом хорд.
Метод хорд ориентирован на нахождение корня уравнения (2) в случае, когда на границах интервала [
,
] знаки производной
различны. Такая ситуация, очевидно, возможна, если точка минимума функции
является внутренней точкой интервала [
,
] — см.рис. 1.
Рис. 1. К схеме метода хорд.
Нам далее понадобится значение
. Из подобия треугольника
и треугольника
имеем
Отсюда следует, что
 | (3) |
- Выполняем присваивания
=1, 
=
, 
=
.
- Вычисляем значения производных
.
- Если производные имеют одинаковые знаки – завершаем вычисления (точки
выбраны неверно).
- По формуле (3) вычисляем приближение
к стационарной точке функции 
(
) b значение производной 
.
- Если
, где 
– требуемая точность решения, то принимаем 
и заканчиваем вычисления.
- Если производные имеют разные знаки, то выполняем присваивания
,
, 
и переходим на п.4.
- Если производные
(), (
) имеют разные знаки (как на рис. 1), то выполняем присваивания. 
,
, и переходим на п.4
В случае квадратичной функции
(
) производная этой функции
линейна. Поэтому метод хорд гарантирует нахождение
стационарной точки функции (
) всего за одну итерацию.
Поскольку поиск заканчивается при выполнении условия
, возможно появление ложных корней. Например, для уравнения
ложный корень
появляется в том случае, если
. В подобных случаях увеличивая точность поиска, можно избавить от ложных корней. Однако, возможны уравнения, для которых такой подход не приводит к успеху. Например, уравнение
не имеет действительных корней, однако для сколь угодно малого
найдется точка, удовлетворяющая условию окончания поиска.
Возможна модификация метода хорд, когда значения производной
вычисляются приближенно с использованием первых разностей. В этом случае, очевидно, метод становится прямым (нулевого порядка).
Поиск стационарной точки минимизируемой функции методом касательных.
Метод касательных ориентирован на нахождение корня уравнения (2) в случае, когда на границах интервала [
,
] знаки производной
различны. Такая ситуация, очевидно, возможна, если точка минимума функции
является внутренней точкой интервала [
,
] — см. рис. 2. метод требует, чтобы функция
(
) была определена и дважды дифференцируема в
области допустимых значений 
=[
,
].
Рис. 2. К схеме метода касательных.
Нам далее понадобится значение
. Линейная функция, аппроксимирующая функцию
в точке
, записывается в виде
 | (4) |
Приравняв правую часть уравнения (4) к нулю, получим
 | (5) |
- Выполняем присваивания =1, =, =.
- Вычисляем значения производных .
- Если производные имеют одинаковые знаки – завершаем вычисления (точки выбраны неверно).
- По формуле (5) вычисляем приближение к стационарной точке функции () и значение
.
- Если , где – требуемая точность решения, то принимаем и заканчиваем вычисления.
- Если разные знаки имеют производные
(как на рис. 2), то выполняем присваивания 
, 
=
, и переходим на п.4.
- Если разные знаки имеют производные
, то выполняем присваивания 
, =
, и переходим на п.4.
В случае квадратичной функции
(
) производная этой функции
(
) линейна. Поэтому метод касательных гарантирует нахождение
стационарной точки функции (
) всего за одну итерацию.
Также, как в методе хорд, возможна модификация метода касательных, когда значения производной
вычисляются приближенно с использованием первых разностей. В этом случае, очевидно, метод становится прямым (нулевого порядка).
