Пусть необходимо найти удлинение балки, с одним закрепленным концом (см. рис. 1) с продольной нагружающей силой.

Уравнение, описывающее состояние балки имеет вид:

здесь — удлинение, — нагружающая сила, — площадь поперечного сечения, — модуль Юнга.

В соотвествии с алгоритмом решения стационарных задач с помощью МКЕ:

1. Выбираем конечный элемент. Для одномерной задачи выбор ограничен только отрезком прямой.

2. Выбираем функцию формы конечного элемента, то есть фактически выбираем аппроксимацию решения внутри конечного элемента. Будем считать, что удлинение внутри конечного элемента меняется по линейному закону:

(1)

Предполаем, что нам известны узловые значения удлинений, и (см. рис. 2):

Из (1) при , при .

Из данной системы уравнений находим значения и и подставляем в (1), выделяя коэффициенты при и :

где — вектор функции формы конечного элемента, его составляющие элементы — глобальные базисные функции, отличные от нуля в пределах этого элемента.

3. Разбиваем область на конечные элементы. В отличие от метода конечных разностей разбиение может быть совершенно произвольно. При этом следует принимать во внимание априорно известное распределение фазовой переменной: там, где возможно резкое изменение фазовой переменной, сетку следует делать более густой.

4. Получение локальных матрицы жесткости и вектора нагрузок конечного элемента.

Локальная матрица жесткости и вектор нагрузок — математическая модель конечного элемента. Эти термины употребляются не только в задачах строительной механики, но и в других предметных областях

Фактически для их получения необходимо применить метод взвешенных невязок в пределах конечного элемента с аппроксимацией, полученной в п. 2. В соответствии с методом Галеркина:

Раскрываем интеграл в предположении, что площадь поперечного сечения элемента постоянна:

Приводим уравнение к следующему виду:

(2)

Получили локальные матрицу жесткости и вектор нагрузок.

5. Ансамблирование.

Ансамблирование выполняется в соотвестствии с основной идеей МКЭ, согласно которой

то есть интеграл по всей области равен сумме интегралов по подобластям

Интеграл по одному конечному элементу мы вычислили в (2).

Глобальная матрица жесткости будет иметь размерность, определяемую числом узлов сетки, в нашем примере — 4. Вектор неизвестных составляют перемещения в этих узлах. Локальная матрица жесткости каждого конечного элемента даст аддитивный вклад в глобальную матрицу в соответствии с узлами подключения конечного элемента (это же касается и вектора нагрузок).

6. Учет граничных условий . В нашем примере , то есть можно вычеркнуть первый столбец и первую строку.

7. Решение системы уравнений

В результате найдем удлинение в каждом узле.