Необходимость использования статистических методов в параметрическом анализе связано с двумя классами проблем.

Во первых, базовые методы параметрического анализа систем предполагают детерминированную постановку задачи, т.е. модели объекта и системы управления известны и параметры их постоянны. Процессы в реальной системе отличаются от указанных моделей, а именно:

- изменение параметров системы относительно используемых в модели при проектировании;

- наличие неизвестных или неучитываемых для простоты моделирования динамических эффектов;

- наличие эффектов запаздывания (временной задержки);

- изменение положения рабочей точки системы, которую принимали как условие проектирования;

- шумы измерительных систем;

Далее используется понятие неопределенности параметров модели -наличие случайной составляющей в значении параметра модели системы автоматического управления.

Выделяют два типа неопределенности модели: внешнюю и внутреннюю.

В простейшем случае, если не известен закон распределения случайной составляющей, рассматривают неопределенность через задание диапазона изменения рассматриваемой величины, который можно оценить, например, с помощью допусков на изготовление элементов системы, диапазона изменения внешних факторов, например, ветровых нагрузок в данном регионе и т.п.

В более общем случае в связи с фактором неопределенности параметров системы имеется необходимость использования статистических методов в параметрическом анализе.

В связи с разделением неопределенных параметров на внешние и внутренние, можно выделить задачу статистического моделирования входных воздействий на систему (внешних параметров) и статистический анализ влияния вариаций внутренних параметров модели на качество ее функционирования.

Первый класс задач параметрического анализа в статистической постановке может быть описан как анализ в условиях параметрической неопределенности

Во-вторых, в процессе многовариантного анализа ставится задача повышения его эффективности с точки зрения выявления областей параметров, в которых система обладает приемлемым качеством. В этом смысле задача параметрического анализа приближается к задаче оптимизации. Наиболее близкими при этом являются такие методы оптимизации, как прямой поиск и случайный поиск.

Второй класс задач параметрического анализа в статистической постановке может быть описан в связи с этим как эффективный анализ.

Рассмотрим первый класс задач применительно к исследованию внешних параметров, например, исследование случайных воздействий на систему управления. Статистический анализ включает в себя вычисление математических ожиданий, дисперсий ошибок, корреляционных функций, спектральных плотностей и др. Важнейшие показатели качества, которые необходимо оценить в процессе этих исследований, это точность (ошибка) устойчивость и колебания системы.

Рассмотрим стационарную линейную систему с передаточной функцией

(1)

Пусть на вход системы поступает стационарный центрированный случайный процесс x(t), имеющий спектральную плотность S_x(ω). Выходную переменную системы обозначим через y(t). Спектральная плотность реакции системы (1) на x(t) в установившемся режиме определяется по формуле:

S_x(ω) (2)

где квадрат модуля частотной характеристики

|W(jω)|²=W(jω)W(-jω) (3)

Дисперсия выходной переменной y(t) исследуемой системы:

|W(jω)|²S_x(ω)dω (4)

Если задана импульсная характеристика системы w(t), тогда формула для определения дисперсии получается из формулы для корреляционной функции K_y(τ) случайного процесса y(t) на выходе исследуемой системы. Дополнительно используется информация о корреляционной функции входного процесса K_x(τ).

(5)

В процессе моделирования решается также задача получения стационарного случайного процесса с дробно-рациональной спектральной плотностью S_x(ω)

, где

(6)

Известно, что такой стационарный случайный процесс x(t) может быть получен из белого шума ξ(t) с корреляционной функцией и спектральной плотностью вида:

(τ),

Процесс получается как реакция системы с передаточной функцией, называемой формирующим фильтром:

Если рассмотреть систему с двумя последовательно соединенными передаточными функциями: формирующим фильтром и собственно объектом исследования, т.е.

(9)

и определить импульсную характеристику этой объединенной системы ŵ(t), тогда формула для дисперсии исследуемой системы будет иметь вид:

Рассмотрим первый класс задач применительно к исследованию внутренних параметров

Пусть дана непрерывная система управления со случайными (неопределенными) параметрами. Природа неопределенностей указана выше, например вследствие допусков на изготовление отдельных элементов или изменения их свойств в процессе работы. Случайные параметры в систему, даже линейную относительно переменных, входят мультипликативно с этими переменными. В нелинейную систему они входят еще более сложным образом, поэтому любая система со случайными параметрами является нелинейной.

Один из способов исследования таких систем заключается в статистической линеаризации по статистическому ансамблю.

Для линейной системы управления, описываемой уравнением

A

полиномы относительно переменной Лапласа s A и B имеют случайные параметры (коэффициенты) a₀,...,a_k и b₀,...,b_n. Кроме того, входное воздействие x также состоит из полезного неслучайного сигнала f(t) и стационарной случайной помехи n(t)

u(t)=f(t)+n(t) (12)

Случайные параметры представляются в виде суммы математического ожидания (номинальной величины) m_a и m_b и центрированной случайной составляющей a_c c дисперсией и центрированной случайной составляющей b_c c дисперсией соответственно.

Математическое ожидание выходной величины в установившемся режиме рассчитывается по формуле:

(13)

где (r)- производная степени r

m_u=f+m_n

D_a0y - момент связи случайного коэффициента a_i и производной выходного сигнала y⁽ⁱ⁾

m_a0 - математическое ожидание коэффициента a₀

Решение первого класса задач в случае задания интервала неопределенности рассмотрим на примере системы с характеристическим уравнением

sⁿ+a_n-1s^n-1++...+a₀=0 (14)

Пусть известна информация только об интервалах , в которых находятся эти коэффициенты:

_i, i=0,...n, a_т=1

Чтобы исследовать такой важный критерий качества системы, как устойчивость  очевидно, следовало бы перебрать все возможные сочетания параметров. Однако задачу можно свести к исследованию ограниченного числа полиномов наихудшего вида. Так, для системы 3 порядка

s³+a₂s²++a₀=0 (15)

имеется четыре наихудших полинома

+

+

+ (16)

+

Второй класс статистических методов связан с зондированием пространства параметров, использующим стратегии случайного поиска Примером эффективного анализа может служить использование точек ЛПТау - последовательности как пробных в случайном поиске.

В широком смысле задача организации статистических исследований при моделировании представляет отдельную сложную задачу, в которую входят: