Необходимость использования статистических методов в параметрическом анализе связано с двумя классами проблем.
Во первых, базовые методы параметрического анализа систем предполагают детерминированную постановку задачи, т.е. модели объекта и системы управления известны и параметры их постоянны. Процессы в реальной системе отличаются от указанных моделей, а именно:
- изменение параметров системы относительно используемых в модели при проектировании;
- наличие неизвестных или неучитываемых для простоты моделирования динамических эффектов;
- наличие эффектов запаздывания (временной задержки);
- изменение положения рабочей точки системы, которую принимали как условие проектирования;
- шумы измерительных систем;
Далее используется понятие неопределенности параметров модели -наличие случайной составляющей в значении параметра модели системы автоматического управления.
Выделяют два типа неопределенности модели: внешнюю и внутреннюю.
В простейшем случае, если не известен закон распределения случайной составляющей, рассматривают неопределенность через задание диапазона изменения рассматриваемой величины, который можно оценить, например, с помощью допусков на изготовление элементов системы, диапазона изменения внешних факторов, например, ветровых нагрузок в данном регионе и т.п.
В более общем случае в связи с фактором неопределенности параметров системы имеется необходимость использования статистических методов в параметрическом анализе.
В связи с разделением неопределенных параметров на внешние и внутренние, можно выделить задачу статистического моделирования входных воздействий на систему (внешних параметров) и статистический анализ влияния вариаций внутренних параметров модели на качество ее функционирования.
Первый класс задач параметрического анализа в статистической постановке может быть описан как анализ в условиях параметрической неопределенности
Во-вторых, в процессе многовариантного анализа ставится задача повышения его эффективности с точки зрения выявления областей параметров, в которых система обладает приемлемым качеством. В этом смысле задача параметрического анализа приближается к задаче оптимизации. Наиболее близкими при этом являются такие методы оптимизации, как прямой поиск и случайный поиск.
Второй класс задач параметрического анализа в статистической постановке может быть описан в связи с этим как эффективный анализ.
Рассмотрим первый класс задач применительно к исследованию внешних параметров, например, исследование случайных воздействий на систему управления. Статистический анализ включает в себя вычисление математических ожиданий, дисперсий ошибок, корреляционных функций, спектральных плотностей и др. Важнейшие показатели качества, которые необходимо оценить в процессе этих исследований, это точность (ошибка) устойчивость и колебания системы.
Рассмотрим стационарную линейную систему с передаточной функцией
(1)
Пусть на вход системы поступает стационарный центрированный случайный процесс x(t), имеющий спектральную плотность Sx(ω). Выходную переменную системы обозначим через y(t). Спектральная плотность реакции системы (1) на x(t) в установившемся режиме определяется по формуле:
Sx(ω) (2)
где квадрат модуля частотной характеристики
|W(jω)|2=W(jω)W(-jω) (3)
Дисперсия выходной переменной y(t) исследуемой системы:
|W(jω)|2Sx(ω)dω (4)
Если задана импульсная характеристика системы w(t), тогда формула для определения дисперсии получается из формулы для корреляционной функции Ky(τ) случайного процесса y(t) на выходе исследуемой системы. Дополнительно используется информация о корреляционной функции входного процесса Kx(τ).
(5)
В процессе моделирования решается также задача получения стационарного случайного процесса с дробно-рациональной спектральной плотностью Sx(ω)
, где
(6)
Известно, что такой стационарный случайный процесс x(t) может быть получен из белого шума ξ(t) с корреляционной функцией и спектральной плотностью вида:
(τ),
Процесс получается как реакция системы с передаточной функцией, называемой формирующим фильтром:
Если рассмотреть систему с двумя последовательно соединенными передаточными функциями: формирующим фильтром и собственно объектом исследования, т.е.
(9)
и определить импульсную характеристику этой объединенной системы ŵ(t), тогда формула для дисперсии исследуемой системы будет иметь вид:
Рассмотрим первый класс задач применительно к исследованию внутренних параметров
Пусть дана непрерывная система управления со случайными (неопределенными) параметрами. Природа неопределенностей указана выше, например вследствие допусков на изготовление отдельных элементов или изменения их свойств в процессе работы. Случайные параметры в систему, даже линейную относительно переменных, входят мультипликативно с этими переменными. В нелинейную систему они входят еще более сложным образом, поэтому любая система со случайными параметрами является нелинейной.
Один из способов исследования таких систем заключается в статистической линеаризации по статистическому ансамблю.
Для линейной системы управления, описываемой уравнением
A
полиномы относительно переменной Лапласа s A и B имеют случайные параметры (коэффициенты) a0,...,ak и b0,...,bn. Кроме того, входное воздействие x также состоит из полезного неслучайного сигнала f(t) и стационарной случайной помехи n(t)
u(t)=f(t)+n(t) (12)
Случайные параметры представляются в виде суммы математического ожидания (номинальной величины) ma и mb и центрированной случайной составляющей ac c дисперсией и центрированной случайной составляющей bc c дисперсией соответственно.
Математическое ожидание выходной величины в установившемся режиме рассчитывается по формуле:
(13)
где (r)- производная степени r
mu=f+mn
Da0y - момент связи случайного коэффициента ai и производной выходного сигнала y(i)
ma0 - математическое ожидание коэффициента a0
Решение первого класса задач в случае задания интервала неопределенности рассмотрим на примере системы с характеристическим уравнением
sn+an-1sn-1++...+a0=0 (14)
Пусть известна информация только об интервалах , в которых находятся эти коэффициенты:
i, i=0,...n, aт=1
Чтобы исследовать такой важный критерий качества системы, как устойчивость  очевидно, следовало бы перебрать все возможные сочетания параметров. Однако задачу можно свести к исследованию ограниченного числа полиномов наихудшего вида. Так, для системы 3 порядка
s3+a2s2++a0=0 (15)
имеется четыре наихудших полинома
+
+
+ (16)
+
Второй класс статистических методов связан с зондированием пространства параметров, использующим стратегии случайного поиска Примером эффективного анализа может служить использование точек ЛПТау - последовательности как пробных в случайном поиске.
В широком смысле задача организации статистических исследований при моделировании представляет отдельную сложную задачу, в которую входят: