Рассмотрим самый простой случай построения D-областей для одного параметра.
В качестве такого параметра может выступать коэффициент усиления K в обратной связи. Для неизменяемой части c передаточной функцией G(s)= соответствующая замкнутая система c корректирующим устройством H(s)=K имеет передаточную функцию:
= (1)
Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
D(s)=M(s)+KN(s) (2)
К аналогичному виду можно привести и произвольное характеристическое уравнение, если выделить члены, не зависящие от исследуемого параметра K в полином M(s), а остальные члены, линейно зависящие от K, выделить в полином N(s).
Граница D-разбиения в соответствии с общим подходом, задается уравнением
D(sk)=D(jωK) =M(jωK) +KN(jωK) = 0, (3)
Отсюда
K=X(ωk) + jY(ωk). (4)
Полученное уравнение связывает значения коэффициента K и частоты ωk, соответствующие чисто мнимым корням sk=jωK. Очевидно, в общем случае решение для K будет представлять комплексную величину.
Изменяя частоту ω от - до + , вычисляются X(ωk) и Y(ωk) - действительные и мнимые части комплексного коэффициента K и по ним строятся точки границы D-разбиения. Пространство коэффициентов в рассматриваемом случае представляется системой координат в виде комплексной плоскости (X,jY). Можно строить только половину кривой (ω =[0,+]), а другую половину достраивать симметрично относительно вещественной оси.
Далее, для выделения D- областей используем тот факт, что отображение границы D-разбиения на комплексную плоскость корней - это мнимая ось jω. Если теперь в плоскости корней двигаться вдоль мнимой оси от - до + и штриховать ее слева, то это будет отображаться на плоскость комплексного коэффициента как движение вдоль линии D-разбиения и штриховку ее также слева. Переходу корня в плоскости корней из штрихованной полуплоскости в нештрихованную соответствует аналогичный переход через границу D-разбиения, и наоборот.Интересно, что если пересекается область с двойной штриховкой, то в плоскости корней мнимую ось пересекает пара комплексно сопряженных корней.
Теперь следует выделить области с наличием и отсутствием правых корней. Поскольку число правых и левых корней внутри данной области не изменяется, можно взять любую точку из каждой области и проверить на устойчивость любым способом. Заметим, что область с наибольшим количеством штриховок является претендентом на область устойчивости.
Вследствие принятого условия о вещественности коэффициентов системы, K - вещественное число, поэтому для определения области устойчивости для этого коэффициента берется только отрезок вещественной оси K = X(ωk).
Рассмотренный метод позволяет провести, в отличие от простого многовариантного анализа, глобальный поиск областей устойчивости - определение областей устойчивости для значений параметра из множества вещественных чисел E.