Процедуры анализа чувствительности относятся к типовым процедурам многовариантного анализа.

Однако для класса систем управления понятие чувствительности формулируется также, исходя из принятых в теории автоматического управления описания систем, например, с помощью передаточных функций.

Рассмотрим систему с передаточной функцией объекта G(s) (рис.1)

На вход системы подается сигнал R(s). Выходной сигнал Y(s). Влиянием возмущений N(s) и D(s) пока пренебрежем. Также пока не будем учитывать передаточную функцию (ПФ) входного фильтра. Для общности рассуждений предположим что замыкание системы происходит с помощью обратной связи H(s), которая может быть единичной, или передаточной функции датчика или в общем случае – параллельного корректирующего устройства.

Для замкнутой системы ее выход рассчитывается по известной формуле

Для системы с G(s)H(s)1 в рабочем диапазоне частот имеет место приближенная оценка

Из (2) следует, что выход определяется только ПФ H(s), так что в случае H(s) равной единичной константе, выход точно равен входу.

Итак, увеличение модуля G(s)H(s) приводит к уменьшению влияния свойств ПФ объекта G(s), а значит, и уменьшения влияния вариаций его параметров. Возможно, имеется и отрицательное влияние условия G(s)H(s)1 на качество системы (колебательность или потерю устойчивости) .

Преимущество системы с обратной связью проявляется в этом уменьшении влияния изменений параметров объекта управления.

Получим оценку влияние изменений параметров на реакцию разомкнутой и замкнутой систем.

Цепочка формул:

- передаточная функция системы с вариациями параметров:

Ğ(s)=G(s)+G(s) (3)

где G(s) - приращение ПФ;

-приращение выхода разомкнутой системы (в виде изображения по Лапласу):

Y(s)=G(s)R(s) (4)

- выход замкнутой системы с возмущенным объектом:

Y(s)+Y(s)=R(s) ,

откуда

Y(s)=R(s) (5)

Для GH(s)GH(s)

Y(s)=R(s) (6)

Из формул (4) и (6) следует, что изменение выходной переменной в замкнутой системе вследствие вариаций параметров объектов меньше в [1+GH(s)]² по сравнению с разомкнутой.

Определение 1: Чувствительностью системы автоматического управления называется отношение процентного изменения передаточной функции системы к процентному изменению передаточной функции объекта.

Для системы с передаточной функцией

формула чувствительности в соответствии с определением:

В пределе, при бесконечно малых изменениях параметров, имеем:

Определение 2: чувствительность системы автоматического управления (определение 2) – отношение изменения ее передаточной функции к изменению передаточной функции (или параметров) объекта управления при условии их малости.

Очевидно для разомкнутой системы T(s)=G(s), T(s)=G(s), поэтому ее чувствительность равна единице.

Для замкнутой системы с объектом G(s) и ПФ обратной связи H(s) ПФ:

поэтому ее чувствительность определяется по формуле:

Из (11) следует уже известный нам вывод о том, что чувствительность замкнутой системы можно сделать меньше, чем ее чувствительность в разомкнутом состоянии, увеличивая GH(s).

Определение 3. Чувствительность замкнутой системы к изменению передаточной функции элемента обратной связи H(s)- отношение изменения ее передаточной функции к изменению передаточной функции (или параметров) этой обратной связи при условии их малости.

В виде формулы это определение записывается так:

Если опять рассмотреть случай GH достаточно большое, что эффективно с точки зрения уменьшения чувствительности системы, из (12) следует, что чувствительность замкнутой системы к изменению H(s) близка к единице, поэтому изменения H(s) сильно влияют на изменение выходной переменной. Очевидно, желательно для обеспечения стабильности работы использовать в качестве элементов обратной связи малочувствительные к внешним условиям

Практический интерес представляет оценка чувствительности системы к вариациям отдельных параметров α передаточной функции объекта G(s). Эта оценка весьма полезна при проведении параметрической оптимизации системы.

Формула получается из правил дифференцирования сложной функции:

= (13)

Подставим выражение для описания ПФ замкнутой системы T(s) в виде отношения числителя N(s) и знаменателя D(s) с параметром α, зависящим от изменения внешних факторов:

S=

где α₀ – номинальное значение параметра.

Вывод.

Влияние вариаций параметров объекта G(s) для замкнутой системы уменьшается в 1+GH(s) раз по сравнению с разомкнутыми системами.